文档内容
河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知点 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．三个点确定一个平面
B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行
C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内
D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行
3．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若 ， 均是单位向量，且 ，则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
5．如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形 的直观图，其中 ，梯
形 的面积为30，则梯形 的高为（ ）
A． B．10 C． D．20
6．半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体
沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面
体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（ ）A． B． C． D．
7． 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 外接圆的半径
为（ ）
A． B． C．3 D．6
8．已知复数 ， ，若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若满足 ， 的 有两解，则 的值可
能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，正方体 的棱长为6，P是AB的中点， 是正方体 的表面及其
内部一动点，则下列说法正确的是（ ）A．正方体 内切球的表面积为
B．若 ，则动点 的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C．若点 是 的外心，则
D．若动点 满足 ，则 的最小值为
三、填空题
12．复数 的虚部为 .
13．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式
建筑、园林建筑.位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑——据胜亭（图1）就是四角攒尖的代表，它的
屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥 ，其中底面边长约为6米，顶点到底面的距
离约为2米，则据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米.
14．如图，在 中，AB⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，D是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆
上任意一点，则 的取值范围为 .四、解答题
15．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， .
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 ，证明： .
16．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
17．如图，在多面体 中，四边形 和四边形 均为正方形，四边形 和四边形
均为梯形，其中 ， ，且 ．
(1)证明：B，D，E，G四点共面.
(2)证明： 三条直线交于一点.
18．如图，长方体 的长、宽、高分别为x，y，2，且 ， ．(1)当底面 为正方形时，求长方体 的表面积和体积；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)记三棱锥 外接球的表面积为 ，底面ABCD的面积为 ，求 的取值范围.
19．如图，在 中， 是 上一点， 是 上一点，且 .
(1)已知 ， 在 的垂直平分线上，且 ， .
①求 ；
②若 为 外接圆的圆心， 为 外接圆的圆心，求 .
(2)若 是 的角平分线， ，求 的最大值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C B A D ABC BC
题号 11
答案 ACD
1．A
根据已知点的坐标，得出向量的坐标，求和即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 ．
故选：A.
2．C
根据空间点、线、面基本定理进行判断.
【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误；
若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误；
若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确；
若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误.
故选：C
3．D
根据复数代数形式的乘法（乘方）运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限．
故选：D
4．B
根据数量积的运算律得出 的值，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
.
所以， .故选：B.
5．C
先求出梯形 的高，再利用平面图与直观图面积的数量关系计算即得.
【详解】因为 ，梯形 的面积为30，
设梯形 的高为 ，则 ，解得 ，
则梯形 的高为 ．
故选：C.
6．B
先求出二十四等边体边长为 ，其中有 个面为正方形， 个面为正三角形，
再求其表面积.
【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为 ，
其中有 个面为正方形， 个面为正三角形，
其表面积为 .
故选：B
7．A
根据三角恒等变形得 ，再借助正弦定理角化边可得 ，最后由正弦定理求解.
【详解】根据题意， ， ，
即 ，
根据正弦定理，得 ，可得 ，
则 ，所以 ，
则 外接圆的半径为 .
故选：A8．D
根据易知结合复数相等的充要条件化简可得 .进而换元 ，结合二次函数
的性质，即可得出 的最值.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
所以， ．
令 ，
所以， .
根据二次函数的性质可知，当 时， 有最小值 ；
当 时， 有最小值 .
所以， ．
故选：D.
9．ABC
A利用复数的模的定义计算；B利用复数的加法运算；C先计算 ，再利用共轭复数的定义；D利用复
数的乘法运算.
【详解】由题意可得， ，则 ，故A正确；
，故B正确；
，则 ，故C正确；，故D错误.
故选：ABC
10．BC
由 求出 的范围，即可判断,
【详解】由满足 的 有两解，可得 ，即 ，
即 ，则符合题意的有BC.
故选：BC
11．ACD
由球的体积以及表面积公式即可判断AB，由 ，结合数量积的运算律代入计算，即可判
断C，由题意可得 三点共线，然后将正方体展开，结合勾股定理代入计算，即可判断D
【详解】对于A，因为正方体的棱长为 ，则其内切球的半径 ，
内切球的表面积为 ，故A正确；
对于B，由条件可知，点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球的 ，
则 的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为 ，故B错误；
对于C，因为 是以 为边长的等边三角形，
若点 是 的外心，即是 的重心，
由重心定理可得 ，则
，故C正确；
对于D，若动点 满足 ，
由三点共线定理可知， 三点共线，即点 在线段 上，
将 平展在一个平面中，如图所示：
则 ，
故 ，
故 的最小值为 ，故D 正确.
故选：ACD
12．5
先化简，再根据虚部的概念可得结果.
【详解】 ，虚部为5．
故答案为：5.
13．24
根据椎体体积公式即可得到答案.【详解】由题可知，据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米．
故答案为：24.
14．
先求出相关线段长，结合图形将 线性表示，利用向量数量积的运算化简成 ，
由 ，根据图形即可判断 的最大、最小值即可.
【详解】因 ， ，则 ，
又D是BC的中点，则 ，且 ，
因 ，则
，
由图知，当 与 方向相同时， 取得最大值1；
当 与 方向相反时， 取得最小值 ，
故 的取值范围为 .
故答案为： .
15．(1) ，
(2)证明见解析
（1）根据已知结合图形性质以及向量加法的几何意义，即可得出答案；
（2）根据数量积的运算律，结合已知求出 ，即可得出证明.
【详解】（1）由已知可得， ，则 ，
.
（2）由（1）知， ， ，
所以， .
因为 ，
所以 ，
所以， ，
所以， ， .
16．(1)
(2)
（1）利用正弦定理将边化角，即可得到 ，再由平方关系解得即可；
（2）由余弦定理求出 ，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
由 ，得 ，所以 ，即
又 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，所以 ．
（2）由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （负根舍去）．
故 的面积为 ．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）由已知可得 平面 ， 平面 ，则得平面 平面 ，则由面面平行
的性质可得 ，所以B，D，E，G四点共面；
（2）延长 ，设它们交于一点，由已知可得 ，则 ，同理可得
，则S和Q是同一个点，所以 三条直线交于一点.
【详解】（1）
如图，连接 ，
因为 ， ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以B，D，E，G四点共面.
（2）
延长 ，设它们交于一点S，
因为 ，且 ，
所以 ，则 ，
同理，延长 ，设它们交于一点Q，
因为四边形 和四边形 均为正方形， ，
则 ，又 ，
所以 ，则 ，
因此S和Q是同一个点，
所以 三条直线交于一点.
18．(1)表面积为10，体积为2
(2)
(3)
（1）由已知，利用长方体的表面积和体积计算方法计算即可；
（2）由图和已知可知三棱锥 的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，由 表示
出后，利用基本不等式即可求出最大值；（3）由题可知，三棱锥 的外接球即长方体 的外接球，则由 表示出 后
代入 并化简，利用基本不等式即可求得 的取值范围.
【详解】（1）因为底面 为正方形，所以 ，
则长方体 的表面积为 ，
体积为 .
（2）由图和已知，
，
当且仅当 时，等号成立，故三棱锥 体积的最大值为 .
（3）由题可知，三棱锥 的外接球即长方体 的外接球，
设该外接球的半径为 则 ，
所以 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的取值范围为 .
19．(1)① ；②1
(2)1
【详解】（1）①因为 ， 在 的垂直平分线上，
所以， ， ，即 是 的中点，且 为等腰三角形，
所以， ， ， .
又 ，
所以 ， ， ， .
又 ，
所以 ， .
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以， .
②易知点 在直线 上，且在直线 的同侧，则 .
设 外接圆的半径为 ， 外接圆的半径为 .
则 ，
所以 ， .
在 中，有 .
，所以 ， .
在 中，有 .
所以， .
（2）由已知 是 的角平分线， ， ，
可得， .
所以， ，
即 ，
整理可得 ，
所以有 .
又 ，当且仅当 时等号成立，此时 有最大值，
此时 为等腰三角形， ， ，且 ，
此时有 ， ，
所以有 .
