文档内容
内江市高中 ２０２４ 届第三次模拟考试
数 学（ 文科）
本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共页。全卷满分 分，考试
１． Ⅰ Ⅱ ４ １５０
时间 分钟。
１２０
答第卷时，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
２． Ⅰ ２Ｂ
再选涂其它答案标号；答第卷时，用 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工
Ⅱ ０．５
整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
考试结束后，监考员将答题卡收回。
３．
第卷（选择题，共 分）
Ⅰ ６０
一、选择题（本大题共小题，每小题分，共 分在每个小题所给出的四个选项中，只有一
１２ ５ ６０ ．
项是符合题目要求的）
．
集合 ｛ ｘ－２ ， ｝的子集个数是
１． Ｐ＝ ｘ｜ ≤０ ｘ∈Ｚ
ｘ＋１
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
已知是虚数单位， １ ＋３ｉ，则·
２． ｉ ｚ＝ ｚ 珋ｚ＝
２ ＋ｉ
槡
Ａ．１ ＋ｉ Ｂ．１ －ｉ Ｃ．２ Ｄ． ２
已知向量 （， ）， （ ， ），若 ，则ｓｉｎα－ｃｏｓα的值为
３． 珗ａ＝ １ －２ ｂ珒＝ ｃｏｓα ｓｉｎα 珗ａ⊥ｂ珒
ｓｉｎα＋ｃｏｓα
１ ２ １ ２
Ａ Ｂ． Ｃ． － Ｄ． －
３ ３ ３ ３
三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为
４． ｎ ｎ
Ａ．１１ Ｂ．１２
Ｃ．１３ Ｄ．１４
如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的值为
５． Ｎ＝４５ ｋ
Ａ．３
Ｂ．７
Ｃ．１５
Ｄ．３１
在等比数列｛ ｝中， 为其前项和，若 ， ，则 的值为
６． ａ Ｓ ｎ Ｓ ＝５ Ｓ ＝１５ Ｓ
ｎ ｎ １０ ２０ ３０
Ａ．２５ Ｂ．３０
Ｃ．３５ Ｄ．４０
设、 是椭圆：ｘ２ 的两个焦点，点在椭圆上，若 为直角三角形，则
７． Ｆ Ｆ Ｃ ＋ｙ２ ＝１ Ｐ Ｃ △ＰＦ Ｆ
１ ２ ９ １ ２
的面积为
△ＰＦ Ｆ
１ ２
槡 槡
２ ２ 或槡 槡 或２ ２
Ａ． Ｂ．１ ２ Ｃ． ２ Ｄ．１
３ ３
口袋中装有质地和大小相同的个小球，小球上面分别标有数字，，，，，，从中任取两
８． ６ １ １ ２ ２ ３ ３
个小球，则两个小球上的数字之和大于的概率为
４
１ ２ ３ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ５ ５ １５
高三三模考试数学（文科）试卷第 页（共页）
１ ４
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}已知正方体 的棱长为，点、、 分别为棱 、 、 的中点，则平
９． ＡＢＣＤ－Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２ Ｍ Ｎ Ｐ ＡＢ ＣＣ Ｃ Ｄ
面 截正方体所得截面的１面１积１为１ １ １ １
ＭＮＰ
槡
３ 槡 槡 槡
Ａ． Ｂ．３ ３ Ｃ．６ ２ Ｄ． ３
２
若函数（） ｌｎｘ ｘ 有两个零点，则实数的取值范围为
１０． ｆ ｘ ＝ － ｍ
ｘ ｍ
（，） （， ） （， ） （ ， ）
Ａ． ０ ｅ Ｂ． ｅ ＋∞ Ｃ． ０ ２ｅ Ｄ． ２ｅ ＋∞
已知双曲线：ｘ２ ｙ２ （ ， ），以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆
１１． Ｃ － ＝１ ａ＞０ ｂ＞０ Ｃ Ａ ｂ Ａ
ａ２ ｂ２
与双曲线的一条渐近线交于、 两点，若→ １ →，则双曲线的离心率为
Ａ Ｃ Ｍ Ｎ ＯＭ＝ ＯＮ
３
槡 槡
槡 槡 ２ ３ ６
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． Ｄ．
３ ２
已知函数（）的定义域为，对 ， 都有（ ）（ ） （ ） （ ）成
１２． ｆ ｘ Ｒ ｘ ｙ∈Ｒ ２ｆ ｘ ＋１ ｆ ｙ ＋１ ＝ｆ ｘ ＋ｙ －ｆ ｘ －ｙ
立，若（） ，则（ ）
ｆ ０ ≠０ ｆ ２０２４ ＝
Ａ． －１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
第卷（非选择题，共 分）
Ⅱ ９０
二、填空题（本大题共小题，每小题分，共 分）
４ ５ ２０ ．
已知函数（） ，则函数（）在 处的切线方程为
１３． ｆ ｘ ＝ｅｘ ＋ｓｉｎｘ ｆ ｘ ｘ＝０ ．
，
{４ｘ－ｙ－１≤ ０
已知实数，满足 ，则 的最大值为
１４． ｘ ｙ ４ｘ＋ｙ＋１≥０ ｚ＝２ｘ－ｙ ．
ｘ－ｙ＋２≥０．
， ，
若函数（） {ｘ２ ＋ａｘ ｘ≥０ 是奇函数，则
１５． ｆ ｘ ＝ ， ａ＋ｂ＝ ．
ｂｘ２ －２ｘ ｘ＜０．
在 中，角的平分线 与 边相交于点，若 ７ ，则ＡＢ＋ＡＣ的最小值为
１６． △ＡＢＣ Ａ ＡＤ ＢＣ Ｄ ｃｏｓＡ ＝
９ ＡＤ
．
三、解答题（本大题共小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第
６ ７０ １７ ～２１
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第、 题为选考题，考生根据要求作答）
２２ ２３ ．
（本小题满分 分）
１７． １２
年月 日至 日（正月初一至初八），“ ·内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”
２０２４ ２ １０ １７ ２０２４
在川南大草原举行，共举行了场精彩的烟花秀节目前场的观众人数（单位：万人）与场次的统
８ ． ５
计数据如表所示：
场次编号
ｘ １ ２ ３ ４ ５
观众人数
ｙ ０．７ ０．８ １ １．２ １．３
（）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
１ ｙ ｘ ｙ ｘ
（）若该烟花秀节目分、、 三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场 位
２ Ａ Ｂ Ｃ ２００
观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将 列联表补充完整，并判断能否有
２ ×２
的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买等票与性别有关
９０％ Ａ ．
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２ ４
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}购买等票 购买非等票 总计
Ａ Ａ
男性观众
５０
女性观众
６０
总计
１００ ２００
参考公式及参考数据：回归方程 ∧ ∧ ∧ 中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为
ｙ ＝ｂｘ＋ａ
ｎ （ ）（ ）
∧ ｂ ＝ｉ ∑ ＝１ ｘ ｉ －ｘ珋 ｙ ｉ －ｙ珋 ， ∧ ａ ＝ｙ珋－ ∧ ｂｘ珋 ， Ｋ２ ＝（ ）（ ｎ （ ａｄ ） － （ ｂｃ ） ２ ）（ ） ，其中 ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ．
ｎ （ ） ａ＋ｂ ｃ＋ｄ ａ＋ｃ ｂ＋ｄ
∑ ｘ －ｘ珋２
ｉ
ｉ＝１
（ ）
Ｐ Ｋ２≥ｋ ０．１００ ０．０５０ ０．０１０
ｋ ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５
（本小题满分 分）
１８． １２
已知等差数列｛ ｝的公差为，且 ， ， 成等比数列，数列｛ ｝的前项和为，
ａ ４ ａ ＋２ ａ ａ －２ ｂ ｎ Ｓ
且 ｎ（ ） ２ ３ ５ ｎ ｎ
ｂ ＝２ Ｓ ＝２Ｓ ＋２ ｎ≥２ ．
１ （）求ｎ数列ｎ｛－１ ｝、｛ ｝的通项公式；
１ ａ ｂ
（）设 ｎ （ ｎ ），求数列｛ ｝的前项和
２ ｃ ＝ａ ｂ ｎ∈Ｎ ｃ ｎ Ｔ ．
ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ
（本小题满分 分）
１９． １２
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，且 π， ，
Ｐ－ＡＢＣＤ ＡＢＣＤ ∠ＡＢＣ ＝∠ＢＡＤ ＝ ＢＣ ＝２ＡＤ ＝４
２
槡，平面 平面
ＡＢ＝ＡＰ＝ ２ ＰＡＢ⊥ ＰＢＣ．
（）求证：平面 平面 ；
１ ＰＡＤ⊥ ＰＡＢ
（）若 与平面 所成的角为 ，求三棱锥
２ ＰＤ ＰＢＣ ３０° Ｐ －ＢＣＤ
的体积
．
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３ ４
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}（本小题满分 分）
２０． １２
已知函数（） （１ ），
ｆ ｘ ＝ｌｎｘ＋ａ －１ ａ＞０．
ｘ
（）若（） 恒成立，求的取值集合；
１ ｆ ｘ ≥０ ａ
（）证明：１ １ …１ （ ）
２ ＋ ＋ ＋ ＜ｌｎ３ ｎ∈Ｎ ．
ｎ＋１ ｎ＋２ ３ｎ
（本小题满分 分）
２１． １２
已知抛物线的准线方程为： ，过焦点的直线与抛物线交于、 两点，分别过、
Ｅ ｘ＝ －１ Ｆ Ｅ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、 两点，直线 与抛物线交于、 两点，
Ｅ ｙ Ｃ Ｄ ＣＦ Ｅ Ｍ Ｎ
直线 与抛物线交于、 两点
ＤＦ Ｅ Ｐ Ｑ ．
（）求抛物线的标准方程；
１ Ｅ
（）证明： １ １ 为定值
２ ＋ ．
｜ＭＮ｜ ｜ＰＱ｜
请考生在第， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 铅笔
２２ ２３ ． ２Ｂ
将所选题号涂黑
．
（本小题满分 分）
２２． １０
，
{ｘ＝ｃｏｓα＋１
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
槡
ｘＯｙ Ｃ １ ３ α ｘ
ｙ＝ｓｉｎα＋ ．
２
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 槡 １
Ｃ ρｃｏｓθ－ ３ρｓｉｎθ＝ ．
２ ２
（）求曲线 和 的普通方程，并指出曲线 和 所表示的曲线类型；
１ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
１ ２ １ ２
槡
（）若曲线 和 交于点、，点在曲线 上，且 的面积为３，求点的直角坐
２ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｐ Ｃ △ＰＡＢ Ｐ
１ ２ １ ２
标
．
（本小题满分 分）
２３． １０
已知函数（）
ｆ ｘ ＝２｜ｘ＋２｜ ＋ ｜ｘ｜．
（）求不等式（） 的解集；
１ ｆ ｘ ≤３｜ｘ＋２｜
（）将函数（）的图象与直线 围成的封闭图形的面积记为，若正数、、满足
２ ｆ ｘ ｙ＝４ ｔ ａ ｂ ｃ ａ＋２ｂ ＋
，求证：４ 槡槡
ｃ＝ｔ 槡≥ ａ ＋ ｃ．
３ ｂ
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４ ４
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}内江市高中 ２０２４ 届第三次模拟考试
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共 小题，每小题分，共 分）
１２ ５ ６０ ．
１．Ｄ ２．Ｃ ３．Ｃ ４．Ｂ ５．Ｃ ６．Ｃ ７．Ｄ ８．Ａ ９．Ｂ １０．Ｄ １１．Ｄ １２．Ａ
二、填空题（本大题共小题，每小题分，共 分）
４ ５ ２０ ．
槡
３ ２
１３．ｙ＝２ｘ＋１ １４．１ １５． －３ １６．
２
三、解答题（本大题共小题，共 分）
６ ７０
解：（）由表格知 １ ＋２ ＋３ ＋３ ＋５ ， 分
１７． １ ｘ珋＝ ＝３ !!!!!!!!!!!!!!!!!! １
５
０．７ ＋０．８ ＋１ ＋１．２ ＋１．３ ， 分
ｙ珋＝ ＝１ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２
５
所以５ （ ） （ ） （ ） ，
∑ ｘ －ｘ珋２ ＝ －２ ２ ＋ －１ ２ ＋０ ＋１２ ＋２２ ＝１０
ｉ
ｉ＝１
５ （ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，
∑ ｘ －ｘ珋 ｙ －ｙ珋 ＝ －２ × －０．３ ＋ －１ × －０．２ ＋０ ×０ ＋１ ×０．２ ＋２ ×０．３ ＝１．６
ｉ ｉ
ｉ＝１
５ （ ）（ ）
则∧ ∑ ｘ ｉ －ｘ珋 ｙ ｉ －ｙ珋 １．６ ， 分
ｂ ＝ｉ＝１ ＝ ＝０．１６ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
５ （ ） １０
∑ ｘ －ｘ珋２
ｉ
ｉ＝１
， 分
∧
ａ ＝１ －０．１６ ×３ ＝０．５２ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５
故关于的线性回归方程为 分
∧
ｙ ｘ ｙ ＝０．１６ｘ＋０．５２． !!!!!!!!!!!!!!!!! ６
（）依题意，补充 列联表如下：
２ ２ ×２
购买等票 购买非等票 总计
Ａ Ａ
男性观众
４０ ５０ ９０
分
女性观众 !!!!!!!!!!! ８
６０ ５０ １１０
总计
１００ １００ ２００
（ ）
２００ × ６０ ×５０ －４０ ×５０ ２ 分
Ｋ２ ＝ ≈２．０２０ ＜２．７０６ !!!!!!!!!!!!!!!!! １０
９０ ×１１０ ×１００ ×１００
故没有 的把握认为该节目的观众是否购买等票与性别有关 分
９０％ Ａ ． !!!!!!!! １２
解：（）依题意，设等差数列｛ ｝的首项为，因为 ， ， 成等比数列，
１８． １ ａ ａ ａ ＋２ ａ ａ －２
所以 （ ）（ ），又 ｎ ，即（ ）１ （ ２ ）（ ３ ５ ），解得 ， 分
ａ２ ＝ ａ ＋２ ａ －２ ｄ＝４ ａ ＋８ ２ ＝ ａ ＋６ ａ ＋１４ ａ ＝ －５ ! １
故 ３ （２ ）５ （ ） １ ， １ １ １ 分
ａ ＝ａ ＋ ｎ－１ ｄ＝ －５ ＋４ ｎ－１ ＝４ｎ－９ !!!!!!!!!!!!!!!!! ３
由已ｎ知１ （ ），
Ｓ ＝２Ｓ ＋２ ｎ≥２
故 ｎ ｎ－，１
Ｓ ＝２Ｓ ＋２
两式ｎ相＋１减，得ｎ （ ）， 分
ｂ ＝２ｂ ｎ≥２ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
又 ，ｎ解＋１得ｎ ，所以 ， 分
Ｓ ＝２Ｓ ＋２ ｂ ＝４ ｂ ＝２ｂ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５
所以２数列｛１ ｝是以为２ 首项，为公２ 比的１ 等比数列，故 · 分
ｂ ２ ２ ｂ ＝２ ２ｎ－１ ＝２ｎ !!!!!!! ６
ｎ ｎ
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１ ５
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}（）由（）得 （ ）·，故 …（ ）·，
２ １ ｃ ＝ａ ｂ ＝ ４ｎ－９ ２ｎ Ｔ ＝ －５ ×２１ －１ ×２２ ＋３ ×２３ ＋ ＋ ４ｎ－９ ２ｎ
则 ｎ ｎ ｎ …（ｎ ） 分
２Ｔ ＝ －５ ×２２ －１ ×２３ －３ ×２４ ＋ ＋ ４ｎ－９ ×２ｎ＋１ !!!!!!!!!!!!!! ８
两式相ｎ 减得 （ … ） （ ） 分
－Ｔ ＝ －１０ ＋４ ２２ ＋２３ ＋ ＋２ｎ － ４ｎ－９ ×２２ｎ＋１ !!!!!!!!!! ９
ｎ （ ）
２２ １ －２ｎ－１ （ ） 分
＝ －１０ ＋４ × － ４ｎ－９ ×２２ｎ＋１ !!!!!!!!!!! １０
１ －２
（ ） ， 分
＝ １３ －４ｎ ×２ｎ＋１ －２６ !!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１
故 （ ） 分
Ｔ ＝ ４ｎ－１３ ×２ｎ＋１ ＋２６ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
解ｎ ：（）证明：取 的中点，连接
１９． １ ＰＢ Ｍ ＡＭ．
， 分
∵ ＡＢ＝ＡＰ ∴ ＡＭ⊥ＰＢ． !!!!!!!!!!!!!! １
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
ＰＡＢ⊥ ＰＢＣ ＰＡＢ∩ ＰＢＣ ＝ＰＢ ＡＢ
，
ＰＡＢ
平面 分
∴ ＡＭ⊥ ＰＢＣ． !!!!!!!!!!!!!!!! ２
又 平面 ，
ＢＣ ＰＢＣ
分
∴ ＡＭ⊥ＢＣ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３
底面 是直角梯形，且 π
∵ ＡＢＣＤ ∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝
２
，
∴ ＢＣ∥ＡＤ ∴ ＡＤ⊥ＡＭ．
又 ， ，
ＡＤ⊥ＡＢ ＡＭ∩ＡＢ＝Ａ
平面 分
∴ ＡＤ⊥ ＰＡＢ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
又 平面 ，
ＡＤ ＰＡＤ
平面 平面 分
∴ ＰＡＤ⊥ ＰＡＢ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５
（）取 的中点，连接 、 ，则 １ ，
２ ＰＣ Ｎ ＭＮ ＤＮ ＭＮ＝ ＢＣ＝ＡＤ ＭＮ∥ＢＣ∥ＡＤ．
２
四边形 是平行四边形，则
∴ ＡＭＮＤ ＤＮ∥ＡＭ．
又 平面 ， 平面 ，则 是 与平面 所成的角，
ＡＭ⊥ ＰＢＣ ∴ ＤＮ⊥ ＰＢＣ ∠ＤＰＣ ＰＤ ＰＢＣ
即 ， 分
∠ＤＰＣ＝３０° !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７
在 中，易知 槡 槡 分
Ｒｔ△ＰＡＤ ＰＤ＝ ＡＤ２ ＋ＡＰ２ ＝ ６． !!!!!!!!!!!!!!!!!! ８
在直角梯形 中，易知 槡， ， ，
ＡＢＣＤ ＣＤ＝ ６ ∴ ＣＤ＝ＰＤ ∴ ∠ＤＣＰ＝∠ＤＰＣ＝３０°
槡
槡 ３ 槡， 分
∴ ＰＣ＝２ × ６ × ＝３ ２ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
２
在 中， 槡 槡，
Ｒｔ△ＰＢＣ ＰＢ＝ ＰＣ２ －ＢＣ２ ＝ ２
槡
是等边三角形从而 ６ 分
∴ △ＰＡＢ ． ＡＭ＝ＤＮ＝ !!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
２
槡 槡
１ １ （１ 槡） ６ ２ ３
∴ Ｖ ＝ ×Ｓ ×ＤＮ＝ × ×４ × ２ × ＝ ．
Ｐ－ＢＣＤ ３ △ＰＢＣ ３ ２ ２ ３
槡
故所求三棱锥 的体积为２ ３ 分
Ｐ－ＢＣＤ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
３
解：（）由题可知函数（）的定义域为｛ ｝，
２０． １ ｆ ｘ ｘ｜ｘ＞０
（） １ ａ ｘ－ａ，
∵ ｆ′ ｘ ＝ － ＝
ｘ ｘ２ ｘ２
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２ ５
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}当 时，（） ，（）递减，
∴ ０ ＜ｘ＜ａ ｆ′ ｘ ＜０ ｆ ｘ
当 时，（） ，（）递增，
ｘ＞ａ ｆ′ ｘ ＞０ ｆ ｘ
（） （） ， 分
∴ ｆ ｘ ＝ｆ ａ ＝ｌｎａ－ａ＋１ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２
由已知ｍｉｎ（） 恒成立，所以 ， （， ）
ｆ ｘ ≥０ ｌｎａ－ａ＋１≥０ ａ∈ ０ ＋∞ ．
令（） ，则（） １ １ －ｘ， 分
ｇ ｘ ＝ｌｎｘ－ｘ＋１ ｇ′ ｘ ＝ －１ ＝ !!!!!!!!!!!!!!!!! ３
ｘ ｘ
当 时， （） ，（）递增，
∴ ０ ＜ｘ＜１ ｇ′ ｘ ＞０ ｇ ｘ
当 时， （） ，（）递减，
ｘ＞１ ｇ′ ｘ ＜０ ｇ ｘ
（） （） 分
∴ ｇ ｘ ＝ｇ １ ＝０ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
又 ｍ（ａｘ ，），（） （） ，
∵ ａ∈ ０ １ ｇ ａ ＝ｌｎａ－ａ＋１ ＜ｇ １ ＝０
（， ），（） （） ，
ａ∈ １ ＋∞ ｇ ａ ＝ｌｎａ－ａ＋１ ＜ｇ １ ＝０
，故的取值集合为｛｝ 分
∴ ａ＝１ ａ １ ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６
（）由（）可知，当 时，（） ，即 １ ， １ ｘ－１， 分
２ １ ａ＝１ ｆ ｘ ≥０ ｌｎｘ＋ －１≥０ ｌｎｘ≥１ － ＝ !!!!! ７
ｘ ｘ ｘ
（ ） ｘ （当 时，“ ”成立），令 １ （ ），
∴ ｌｎ ｘ＋１ ≥ ｘ＝０ ＝ ｘ＝ ｎ∈Ｎ
ｘ＋１ ｎ
１
（１ ） ｎ １ ，则（ｎ＋１） １ ，即（ ） １ ， 分
ｌｎ ＋１ ＞ ＝ ｌｎ ＞ ｌｎ ｎ＋１ －ｌｎｎ＞ !!!!! ８
ｎ １ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ｎ＋１
＋１
ｎ
故（ ） （ ） １ ，（ ） （ ） １ ，…，（ ） （ ） １ ，
ｌｎ ｎ＋２ －ｌｎ ｎ＋１ ＞ ｌｎ ｎ＋３ －ｌｎ ｎ＋２ ＞ ｌｎ ３ｎ －ｌｎ ３ｎ－１ ＞
ｎ＋２ ｎ＋３ ３ｎ
由累加法可得（ ） １ １ １ …１ ， 分
ｌｎ ３ｎ －ｌｎｎ＞ ＋ ＋ ＋ ＋ !!!!!!!!!!!! １０
ｎ＋１ ｎ＋２ ｎ＋３ ３ｎ
即１ １ １ …１ 分
＋ ＋ ＋ ＜ｌｎ３ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
ｎ＋１ ｎ＋２ ｎ＋３ ３ｎ
解：（）因为准线为： ，设 ，则ｐ 分
２１． １ ｘ＝ －１ ｙ２ ＝２ｐｘ － ＝ －１ !!!!!!!!!!!!! ２
２
所以
ｐ＝２
故抛物线的标准方程为 分
Ｅ ｙ２ ＝４ｘ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３
（）证明：易知抛物线的焦点（，），
２ Ｅ Ｆ １ ０
设直线 的方程为 ，（ ， ）、（ ， ），联立{ｙ２ ＝４ｘ 可得 ，
ＡＢ ｘ＝ｍｙ＋１ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ｙ２ －４ｍｙ－４ ＝０
１ １ ２ ２ ｘ＝ｍｙ＋１
由韦达定理可得 ， ， 分
ｙ ＋ｙ ＝４ｍ ｙ ｙ ＝ －４ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
接下来证明抛物线１ 在２ 点处１的２切线方程为 ，
Ｅ Ａ ｙ ｙ＝２ｘ＋２ｘ
１ １
联立{ｙ２ ＝４ｘ 可得 ，即 ，即（ ） ，
ｙ２ －２ｙ ｙ＋４ｘ ＝０ ｙ２ －２ｙ ｙ＋ｙ２ ＝０ ｙ－ｙ ２ ＝０
ｙ ｙ＝２ｘ＋２ｘ １ １ １ １ １
所以，直１线 １ 与抛物线只有唯一的公共点，
ｙ ｙ＝２ｘ＋２ｘ Ｅ
所以， 的方１ 程为 １ ， 分
ＡＣ ｙ ｙ＝２ｘ＋２ｘ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６
同理可知，直线 的１ 方程为１ ，
ＢＤ ｙ ｙ＝２ｘ＋２ｘ
２ ２
ｙ２
２ × １
在直线 的方程中，令 ，可得 ２ｘ ４ ｙ ，即点（，ｙ ）， 分
ＡＣ ｘ＝０ ｙ＝ １ ＝ ＝ １ Ｃ ０ １ !!!!!! ８
ｙ ｙ ２ ２
１ １
高三三模考试数学（文科）试题答案第 页（共页）
３ ５
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}同理可得点（，ｙ ），所以，直线 的方程为 ｙ ，
Ｄ ０ ２ ＣＦ ｘ＋ ＝１
２ ｙ
１
２
即 ２ｙ，
ｘ＝１ －
ｙ
１
{ ２ｙ
设点（ ， ）、（ ， ），联立ｘ＝１ － ，可得 ８ｙ ，
Ｍ ｘ ３ ｙ ３ Ｎ ｘ ４ ｙ ４ ｙ １ ｙ２ ＋ ｙ －４ ＝０
ｙ２ ＝４ｘ １
由韦达定理可得 ８ ， ， 分
ｙ ＋ｙ ＝ － ｙ ｙ ＝ －４ !!!!!! ９
３ ４ ｙ ３ ４
１
所以， ２ （ ） ２ （ ８ ）
｜ＭＮ｜ ＝ｘ ＋ｘ ＋２ ＝２ － ｙ ＋ｙ ＋２ ＝４ － × －
３ ４ ｙ ３ ４ ｙ ｙ
１ １ １
４ｙ２ ＋１６， 分
＝ １ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
ｙ２
１
同理可得 ４ｙ２ ＋１６，
｜ＰＱ｜ ＝ ２
ｙ２
２ （ ） （ ）
所以， １ １ ｙ２ ｙ２ ｙ２ ４ｙ２ ＋１６ ＋ｙ２ ４ｙ２ ＋１６
＋ ＝ １ ＋ ２ ＝ １ ２（ ）（２ １）
｜ＭＮ｜ ｜ＰＱ｜ ４ｙ２ ＋１６ ４ｙ２ ＋１６ １６ ｙ２ ＋４ ｙ２ ＋４
１ （ ）２ （ ） １ （２ ） （ ）
８ ｙ ｙ ２ ＋１６ ６ｙ２ ＋ｙ２ ｙ ｙ ２ ＋２ ｙ２ ＋ｙ２
＝ ［（１ ２） （ １ ）２ ］＝ ［（ １）２ （ １ ）２ ］
１６ ｙ ｙ ２ ＋４ ｙ２ ＋ｙ２ ＋１６ ２ ｙ ｙ ２ ＋４ ｙ２ ＋ｙ２ ＋１６
１ ２ （ １ ）２ １ ２ １ ２
１６ ＋２ １６ｍ２ ＋８ １
＝ ［ （ ） ］＝
２ １６ ＋４ １６ｍ２ ＋８ ＋１６ ４
故１ １ 为定值１ 分
＋ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２
｜ＭＮ｜ ｜ＰＱ｜ ４
，
{ｘ＝ｃｏｓα＋１
解：（）将曲线 的参数方程 （ 为参数）中的参数消去，
槡
２２． １ Ｃ １ ３ α
ｙ＝ｓｉｎα＋ ．
２
槡
得 的普通方程为（ ） （ ３） ， 分
Ｃ ｘ－１ ２ ＋ ｙ－ ２ ＝１ !!!!!!!!!!!!!!!!!! ２
１ ２
槡
所以曲线 表示以（，３）为圆心，为半径的圆 分
Ｃ １ １ !!!!!!!!!!!!!!!! ３
１ ２
将 ， 代入曲线 的极坐标方程 槡 １ ，
ｘ＝ρｃｏｓθ ｙ＝ρｓｉｎθ Ｃ ρｃｏｓθ－ ３ρｓｉｎθ＝
２ ２
得曲线 的直角坐标方程为 槡 １ ， 分
Ｃ ｘ－ ３ｙ＝ !!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
２ ２
槡
所以曲线 表示经过点（１ ，），且斜率为３的直线 分
Ｃ ０ ． !!!!!!!!!!!!!!! ５
２ ２ ３
槡
槡 ３ １
｜１ － ３ × － ｜
（）由（）得圆心到直线 的距离为 ２ ２ １ ，
２ １ Ｃ ＝
２ ２ ２
槡
所以 １ 槡 分
｜ＡＢ｜ ＝２ １ － ＝ ３ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６
４
高三三模考试数学（文科）试题答案第 页（共页）
４ ５
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}槡
设点（ ， ３），
Ｐ ｃｏｓα＋１ ｓｉｎα＋
２
（ π）
槡 ｜２ｃｏｓ α＋ －１｜
则点到直线 的距离 ｜ｃｏｓα－ ３ｓｉｎα－１｜ ３
Ｐ Ｃ ｄ＝ ＝ ．
２ ２ ２
（ π）
槡 ｜２ｃｏｓ α＋ －１｜ 槡
因为 的面积为３，所以１ 槡 ３ ３ 分
△ＰＡＢ × ３ × ＝ ． !!!!!!!!!! ８
２ ２ ２ ２
所以 （ π） ，则 （ π） １ 或 （ π） ３ （舍去），
｜２ｃｏｓ α＋ －１｜ ＝２ ｃｏｓ α＋ ＝ － ｃｏｓ α＋ ＝
３ ３ ２ ３ ２
所以 π ２π ，或 π ４π ， ，所以 π 或 ， ，
α＋ ＝ ＋２ｋπ α＋ ＝ ＋２ｋπ ｋ∈Ｚ α＝ ＋２ｋπ α＝π＋２ｋπ ｋ∈Ｚ
３ ３ ３ ３ ３
分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９
槡
点的直角坐标为（３ ，槡）或（，３） 分
Ｐ ３ ０ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １０
２ ２
（）由 可得 ， 分
２３． １ ２｜ｘ＋２｜ ＋ ｜ｘ｜≤３｜ｘ＋２｜ ｜ｘ｜≤｜ｘ＋２｜ !!!!!!!!!!!!!!! ２
即 （ ），解得 分
ｘ２≤ ｘ＋２ ２ ｘ≥－１ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４
所以不等式的解集为［ ， ） 分
－１ ＋∞ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５
，
{ －３ｘ－４ ｘ≤－２
（）（） ， ，其函数图象如下图，由图可
２ ｆ ｘ ＝ ｘ＋４ －２ ＜ｘ＜０
，
３ｘ＋４ ｘ≥０
知： １ （ ８ ） ８ ， 分
ｔ＝ × ０ ＋ ×２ ＝ !!!!!!!!!!!! ７
２ ３ ３
又因为、、均为正数，则 ８ 槡 槡
ａ ｂ ｃ ａ ＋２ｂ ＋ｃ ＝ ≥２ ａｂ ＋２ ｂｃ
３
（当且仅当 ２ 时，等号成立） 分
ａ＝ｂ＝ｃ＝ !!!!!!!! ８
３
即４ 槡（槡槡），即４ 槡槡 分
≥ ｂ ａ ＋ ｃ 槡≥ ａ ＋ ｃ !!!!!!! １０
３ ３ ｂ
高三三模考试数学（文科）试题答案第 页（共页）
５ ５
{{##{{QQQQAABBACYYCSU95oggggwgAgIITBAACABB5gqCQQUQ232CCCAAiQGkQJKkAgELEAoCMAAoGVCBGFAqAMwMDACAZBNSARBNIAAB=}A#A}=}#}
