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绵阳南山中学高2021级高三下期高考仿真演练1试题
理科数学
命题人：曾皓 审题人：何宗福
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
U={x|log x>0} A={x|x2 −3x+2<0} C A=
1．已知全集 2 ，集合 ，则 U （ ）
(−∞,1)∪（2，+∞） [2,+∞) （2,+∞) (−∞,1]∪[2，+∞）
A． B． C. D．
z
z=
z i5
2．设复数 的共轭复数为 ，且满足 ，则 可以是（ ）
A． 1+i B． 1−i C．i D．−i
f(x)=(ex −ae−x )cosx
3．已知函数 是奇函数，则实数a=（ ）
A． B． C． D．
4．在区间 [−2,2] 上随机取一个实数a，使 f(x)=ax−sinx 在R上单调递增的概率是
（ ）
1 2 3 1
3 3 4 4
A． B． C． D．
√3
5．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体最长的棱为 ，
则该几何体的体积为（ ）
1 2
俯视图
3 3
A. B．
1 1
6 2
C. D．
6．如图，在棱长为2的正方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1中，
O
1是正方体上底面的中心，P是
B C PO A BC
1 1的中点，则 1与平面 1 1所成角的正切值为（ ）
1 √2
2 2
A． B．
√2
C． D．2
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7．将2名医生和甲、乙、丙、丁4名护士分成2个小组，分别安排到两个社区参加义诊活
动，每个社区有1名医生和2名护士，其中甲乙不在同一小组，则不同的分配方法有（
）种.
A．6 B．8 C．10 D．12
1
f(x)=√3sinxcosx−cos2x+
2
8．关于函数 ，有下列命题：
( π )
,0
①
f (x)
的最小正周期为π； ②函数
f (x)
的图象关于
12
对称；
[π π] 5π
，
f (x) 3 2 f (x) 12
③ 在区间 上单调递增； ④将函数 的图象向右平移 个单位长度
y=sin2x
后所得到的图象与函数 的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
9．已知函数 有两个不同的
根，分别是 （ ）
B.3 C.6 D.9
10．过双曲线 的左焦点 的直线 （斜率为正）交双曲线于
两点，满足 ，设 为 的中点，则直线 （ 为坐标原点）斜率的
最小值是（ ）
√3 √5
A． B． C． D．
1
a =1,a −a =
{a } 1 n+1 n a +a [x]
11．已知数列 n 的各项均为正数， n+1 n，若 表示不超过x的
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[a ]+[a ]+⋯+[a ]=
最大整数，则 1 2 100 （ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
12．若函数
f(x)=log
a
x+log
(1+a)
x
在
（0，+∞）
上单调递增，则a不可能的取值为（
）
1 ln2 √e
e 2 ln1.6 2
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
{x 2 {x y 0
≤ ¿ + ≥ ¿¿¿¿
13．若x,y满足约束条件 则 z=x+2 y 的最小值为 ．
⃗a,⃗b 2|⃗a|=| ⃗b| ⃗a⊥(⃗a− ⃗b), ⃗a，⃗b
14．已知非零向量 满足 ，且 则 的夹角大小为 ．
1 n
( )
S =−15 +t
{a } S n 2 a a ⋯a
15．已知等比数列 n 的前n项和为 n，若 ，则 1 2 n取最大值时，
n的值为 ．
16．已知圆 C:x2 +（y−3） 2 =1 ，点P在抛物线 T:x2 =4 y 上运动，过点P作圆 C 的切线
l ,l A,B PACB
1 2，切点分别为 ，则四边形 面积最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分．
17．数学来源于生活，当然也服务于生活。某学校兴趣小组针对“当地某一零售超市夏天
如何配备冷饮”的问题，做了一系列研究。经研究发现，“冷饮的需求量（单位：杯）”
°C
与“当天的气温（单位： ）”线性相关。根据统计，小组随机抽取了该超市6天销量情
况与当天的气温，对应关系如下表：
°C 17 19 23 29 33 35
气温x（ ）
销量y（杯） 78 87 96 110 13 149
4
¿^=3.6x+m
(1)经过计算，得到当天的气温x与销量y满足回归方程 y ¿．若今天的气温为31
°C
，则该超市可以配备多少杯冷饮？
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(2)为了进一步详细研究这种变化规律，该小组又从这6天中随机选取3天，记X 为销量不
低于110杯的天数，求X 的分布列和数学期望．
ΔABC AD=√5
18．已知在 中，D为BC边的中点，且 .
√5
cos∠ADC=
(1)若 ΔABC 的面积为2， 5 ，求B；
(2)若
AB2 +AC2 =18
，求
ΔABC
的周长的最大值.
19.在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，
， ．
，
(1)证明：平面
PAC⊥¿¿平面PBD；
PE
=λ（0<λ<1）
(2) E是侧棱 PB 上一点，记 PB ，是否存在实数
λ ADE ABCD 60∘ λ
，使平面 与平面 所成的二面角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
f(x)=2sinx+ln(x+1)−ax
20．已知函数 ．
( π)
0，
(1)当
a=2
时，求函数
f (x)
在区间
2
上零点的个数；
(2)若 x≥0 时，不等式 f (x)≤0 恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆 组合成的曲线
如图1所示，根据图形特点，称曲线 为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆离心率相等，
则称为“优美猫眼曲线”.
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（1）已知“猫眼曲线” 满足 成等比数列，公比为 ，判断此时曲线 是否为
“优美猫眼曲线”.若曲线 经过点 ，求出组成这个曲线 的两个椭圆的标准
方程.
（2）对于（1）中所求的“猫眼曲线” ，作直线 （斜率为 ,且 ）.
①若直线 不经过原点O，且与组成 的两个椭圆都相交，交椭圆 所得弦的中点为 ,
交椭圆 所得弦的中点为 ,如图1所示， 是否为与 无关的定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由.
②若直线 的斜率 与椭圆 相切，交椭圆 于 两点，Q为椭圆 上与
不重合的任 意一点，
如图2所示， 求
面积的最大 值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22．第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古呼伦贝尔开幕，这是继北京冬奥会后全
国举办的又一冬季项目大型体育赛事，也是内蒙古首次承办的全国大型综合体育盛会。本
次赛事共设8个大项，16个分项，176个小项。在开闭幕期间，
运动员、裁判员、教练员、媒体记者等总规模达4000余人。武
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大靖、任子威等明星运动员也纷纷亮相。某高中体育爱好者打算借四叶草具有幸福幸运的
象征意义，准备设计一枚四叶草徽章以作纪念。如图，在极坐标系ox中，方程
ρ=2sin2θ C
表示的图形为“四叶草”对应的曲线 ．
π
θ∈[0, ]
C 2 C
(1) 当 的 时；求以极点为圆心的单位圆与 的交点的极坐标；
π
∠AOB=
|OA|+|OB|
(2) 设A和B是 C 上的两点，且 6 ，求 的最大值．
f(x)=|x|+|1−x|
23．已知函数 的最小值是m．
(1)求m的值；
1 2 1 2 25
( ) ( )
a+ + b+ ≥
a>0,b>0,a+b=m a b 2
(2)若 ，证明： ．
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