文档内容
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高一年级数学试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个
是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.）
1. 已知 是虚数单位，复数 对应的点的坐标是 ，则 （）
A. B.
C. D.
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A. B.
C. D.
3. 已知正三角形 的边长为1，则 的值为（）
A. B. 1 C. D. 2
4. 在 中， ，则 的面积为（）
A. B. C. D.
5. 已知 ，则 在 上的投影向量为（）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量 满足 ，则 的最大值为（）
A. B. C. D.
7. 是 斜边 上一点，若 ，则 的值（）
A. B. C. D.
8. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，
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依次是边 的四等分点（ 靠近 点），记 ，则（）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是
符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）
9. 已知 是虚数单位， 表示 的共轭复数，复数 满足 ，则下列正确的是（）
A. 的虚部为
B.
C. 是纯虚数
D. 若 是方程 的一个根，则
10. 已知单位向量 的夹角为 ，若平面向量 ，有序实数对 称
为向量 在“仿射”坐标系 （ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记 ，则下列命题正确的是（）
A. 已知 ，则
B. 已知 ，则线段 的长度为1
C. 已知 ，则
D. 已知 ，则 的最大值为
11. 已知锐角 ，角 所对应的边分别为 ，下列命题正确的是（）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
B. 若 ，则 是等腰三角形
C. 若 ，则 取值范围
的
D. 若 ，则 的取值范围
非选择题部分
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量 ，若 ，则 __________.
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13. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式： ，其中 是自然对数的底数， 是虚数单
位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求 的最大值为__________.
14. 已知 为单位向量，设向量 ，向量 夹角为 ，若 ，求
的
的取值范围__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知 是虚数单位， 表示 的共轭复数，复数 满足
（1）求 的值；
（2）在复平面内，若 对应的点在第三象限，求实数 的取值范围.
16. 已知 的内角 所对应的边分别为 是 外一点，若 ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求四边形 面积的最大值.
17. 在 中， 为线段 上的点， 分别为 的中点.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的长度；
（3）若 ，求 值.
的
18. 杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一
道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去
测量“杭州之门” 的高度，该小组同学在该建筑底部 的东南方向上选取两个测量点 与 ，测得
米，在 两处测得该建筑顶部的仰角分别为 .（已知
）
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（1）请计算“杭州之门” 的高度（保留整数部分）；
（2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上 到 处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知 米，高
直接取（1）的整数结果，市民在底部 的东南方向的 处欣赏“灯光秀”（如图），请问当 为多少米时，
欣赏“灯光秀”的视角 最大？（结果保留根式）
19. 如图，已知 是边长为1的等边三角形，点 是 内一点.过点 的直线 与线段 交于点
，与线段 交于点 .设 ，且 .
（1）若 ，求 的面积 ；
（2）求 的最小值；
（3）若 ，设 的周长为 .
（i）求 的值；
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高一年级数学试题
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个
是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.）
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是
符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）
9.
【答案】BC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
非选择题部分
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
【答案】
13.
【答案】2
14.
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【答案】
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）令 且 ，根据已知等量关系得 ，进而求复数 模；
的
（2）由已知有 ，结合其所在象限列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
令 且 ，则 ，
所以 ，则 ，可得 ，
所以 ，则 ；
【小问2详解】
由 ，
故对应点 在第三象限，则 ，
所以 ，即 .
16.
【解析】
【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得 ，再由三角形内角性质及已知，
即可确定角 的大小；
（2）由（1） 为等边三角形，令 ，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由
及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围.
【小问1详解】
由题设 ，即 ，
所以 ，而 ，故 ，
又 ，则 ，故 .
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【小问2详解】
由（1）易知 为等边三角形，令 ，建立如下图的直角坐标系，
则 ， ， ，故 ，
所以
，当 时取最大值为 .
17.
【解析】
【分析】（1）令 得到 ，结合已知即可求参数值；
（2）由已知得 ， ， ，结合已知有 ，再应用余弦定
理求边长；
（3）根据已知有 均为等腰三角形，结合向量数量积的定义及几何意义，将条件化为
，结合已知求 .
【小问1详解】
令 ，则 ，
而 ，即 ；
【小问2详解】
由题意，在 、 中 为斜边上的中点，
所以 ， ，故 ， ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
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故 ；
【小问3详解】
由（2）易知 ，则 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，即 ，
显然 ，则 .
18.
【答案】（1）300米；
（2） 为 米时，欣赏“灯光秀”的视角 最大.
【解析】
【分析】（1）根据已知有 ，即可求 的高度；
（2）由 ，根据已知及差角正切公式、基本不等式求 的最值，确定取值条件
即可得结论.
【小问1详解】
由题设 ，
所以 米；
【小问2详解】
设 米，则 ， ，
由 ，则
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，
当且仅当 时，欣赏“灯光秀”的视角 最大.
19.
【解析】
【分析】（1）连接AG并延长交BC于点F，设 ，则 ，结合三点共线可得
， ，进而求得 ， ，即可得出结果.
（2）取 的中点 ，利用中点向量及数量积的定义、运算律，结合二次函数求出最小值.
（3）（i）根据给定条件，结合中点向量及共线向量定理的推论求解即得；（ii）求出 ，由余弦定理求得
，结合（i）的结论求出 ，利用 的范围及二次函数的性质求解即可得出 的值
域.
【小问1详解】
连接AG并延长，交BC于点F，设 ，则 ，
由B，F，C三点共线，得 ，解得 ，
因此 ，即 ，则 ，
由 是边长为1的等边三角形，得 的面积
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，所以 的面积 .
【小问2详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
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，
当且仅当点 是 的中点时取等号，
所以 的最小值为 .
【小问3详解】
（i）由 ，得 为 的重心，
连接AG并延长交BC于点 ，则 为BC中点， ，
因此
由D，G，E三点共线，得 ，所以 .
（ii）由正△ABC的边长为1，得 ， ， ，
在△ADE中， ，
则 ，
由 ，得 ，即 ，
因此 ，
又 ，则 ，
由 ， ，得 ， ，又 ，则有 ，
而 ，于是 ，
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由 ，得 ，则 的最小值为 ，最大值为 ，
即 ， 在 上单调递增，则 ，
所以 的值域为 .
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