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湖南省常德市安乡县第一中学2024-2025学年
高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设 ，则 且 是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．命题 ，命题 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．定义域和值域均为 (常数 )的函数 和 的图象如图所示，则方
程 解的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
8．若函数 （ ，且 ），则
（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
二、多选题
9．已知 ，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上，
则 的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
11．函数 ，对于任意的 ，方程 仅
有一个实数根，则m的取值可以为（ ）A． B． C． D．
三、填空题
12．函数 ，且 的图象恒过定点 ，点 又在幂函数 的图象
上，则 .
13．将函数 的图象上各点向左平移 个单位长度，再把横坐标缩短为原来的 ，
得到的图象的函数解析式是 .
14．若关于 的不等式 ，且 恰有4个整数解，则 的取值范
围是 .
四、解答题
15．记函数f(x)= 的定义域为A， (a<1) 的定义域为
B.
（1）求A；
（2）若B A， 求实数a的取值范围.
16．已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求 的单调增区间.
17．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习
近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研
小组研究发现：一棵水果树的产量 （单位：千克）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系： ．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）
元．已知这种水果的市场售价为16元 千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果
树获得的利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．已知函数 ．
（Ⅰ）关于x的不等式 的解集为 ，且 ，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数 ，使得当 时， 成立．若存在给出证明，
若不存在说明理由.
19．对于有穷数列 ，若存在等差数列 ，使得
，则称数列 是一个长为 的“弱等差数列”.
(1)证明:数列 是“弱等差数列”;
(2)设函数 ， 在 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
，证明： 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列” ，且 是等比数列.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B A C C B ABC AC
题号 11
答案 AC
12．413．
14．
15．（1） ；（2）
16．(1)
(2)
【解】（1）
，
故 的最小正周期 .
（2）由 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 .
17．(1)
(2)当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
【解】（1） ；（2）当 时， ，对称轴为 ,
当 时， ，
当 时，
当且仅当 时等号成立
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．
18．（Ⅰ） （Ⅱ）当 时，条件成立
【解】试题分析：（Ⅰ）结合二次函数图像及性质求解不等式的解集 ，借助于
得到关于 的不等式，从而求解其取值范围；（Ⅱ）将已知条件
化简可知函数为偶函数且函数值为非负数，由此可求得实数 的值
试题解析：（1）若关于x的不等式 的解集 ，则 ，即
当 时．不等式解集A为
由题意可知：
当 时，不等式解集A为
由题意可知：
综上所述：
另解： 开口向上
关于x的不等式 的解集为 ，且 等价于（2）存在， ．
证明：当 时，
又
所以：当 时，条件成立．
考点：三个二次关系及函数奇偶性
19．【解】（1）存在数列 是等差数列，且 ，所以数列
是“弱等差数列”.
（2） ，令 得 ，
所以极值点即为 和 图象交点的横坐标，
由 和 在 内的图象可知，在每个周期都有一个交点，
所以令 ，则 ，所以 是“弱等差数列”.
（3）构造正整数等比数列 ， ，其中 是待定正整数，
下面证明：存在正整数 ，使得等比数列 是长为2024的“弱等差数列”.
取 若存在这样的正整数 使得
成立，
所以 ，
由 ，得
，
于是 ，
又因为 ，所以当 时， ，
而 ，
所以 ，
最后说明存在正整数 使得 ，
由 ，
上式对于充分大的 成立，即总存在满足条件的正整数 .
所以，存在长为2024的“弱等差数列” ，且 是等比数列.
