射洪中学高2021级高三下期入学考试数学（文科）试题答案_2024年2月_01每日更新_29号_2024届四川省射洪中学高三下学期开学考试

射洪中学高2021级高三下期入学考试 数学(文科)答案 1.【详解】x-1  ≥2，解得x≥3或x≤-1， 则M=x|x≤-1或x≥3  ，则∁ M=-1,3 R  ， 故∁ M R  ∩N=0,1,2  ，故选：A. 3-2i 3-2i 2.【详解】由z⋅(2+3i)=3-2i得z= = 2+3i  2-3i  2+3i  2-3i  6-9i-4i-6 = =-i， 13 所以z  =1，故选：D 3.【详解】对选项A：月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月，错误； 对选项B：每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，错误； 对选项C：每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月分别为20.5,23,26.5,29,30，逐月增加，正确； 对选项D：9-12月的月温差为20,31,24,21；5-8月的月温差为18,17,16,16，9-12月的月温差的波 动性更大，错误； 故选：C. 4.【详解】因为a ，a 是x2-8x+4=0的两个实数根， 3 7 所以a a =4>0，a +a =8>0，a >0，a >0，又a a =a2， 3 7 3 7 3 7 3 7 5 所以a =a q2>0，a =2，b =a =2， 5 3 5 5 5 因此S = b 1 +b 9 9  ×9 =9b =18，故选：C. 2 5 2 2 b2+c2-a2 b2+4-5 5.∵a= 5，c=2，cosA= ，∴由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得：3b2 3 3 2bc 2×b×2 1 -8b-3=0，∴解得：b=3或- (舍去)，故选D． 3 6.【详解】对于选项A，因为am20，所以aB时，根据三角形中大边对大角，得a>b，由正弦定理得sinA>sinB； a b 当sinA>sinB时，根据正弦定理 = =2R， sinA sinB 得sinA>sinB，所以A>B.所以“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故D正确.故选：B 7.【详解】画出可行域与目标函数， 联立  2x-y-2=0 ，解得A 2 ,- 2 x-2y-2=0 3 3  ， 2 2 当直线z=y-3x过点A ,- 3 3  2 2 8 时，z取得最小值，z =- -3× =- ， min 3 3 3 8 故最小值为- .故选：A 3 高三数学（文科）入学考试参考答案 第1页（共8页）2 8.【详解】f(x)=1- 3x+1  ⋅cosx，则fx  的定义域为R， 又f-x  2 =1- 3-x+1  ⋅cos-x  2×3x =1- 3x+1  2 ⋅cosx=-1+ 3x+1  ⋅cosx=-fx  ， 所以fx  为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD， 当x=π时，fπ  2 =1- 3π+1  2 cosπ=-1+ <0，故排除A.故选：B. 3π+1 9.【详解】fx  3 3 π = sinωx+ cosωx= 3sinωx+ 2 2 3  ， 3是函数的最大值，由题意可知，x 1 -x 2  1 的最小值是 个周期， 4 1 2π 1 所以 × =π，得ω= .故选：B 4 ω 2 10.【详解】对于A，如下图所示：将BC 平移到AD ，连接BD ， 1 1 1 1 易知在△ABD 中，∠BAD 即为异面直线AB 与BC 所成的平面角， 1 1 1 1 1 1 由正方体ABCD-ABCD 的棱长为2， 1 1 1 1 利用勾股定理可知AB =AD =BD =2 2， 1 1 1 1 即△ABD 为正三角形，所以异面直线AB 与BC 所成角为60°，即A正确； 1 1 1 1 对于B，连接AC,AC ，如下图所示： 1 1 由ABCD-ABCD 为正方体即可得，AA ⊥平面ABCD ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 而BD ⊂平面ABCD 1 1 1 1 1 1 所以AA ⊥BD ，又E,F在线段BD 上，所以AA ⊥EF； 1 1 1 1 1 1 又ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，即AC ⊥EF， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又AC ∩AA =A ，AC,AA ⊂平面ACCA ，所以EF⊥平面ACCA ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又EF⊂平面 EFA，所以平面 EFA⊥平面ACCA ，即B正确； 1 1 对于C，易知点F不在平面ABE内， 假设AE⎳BF，又AE⊂平面ABE，BF⊄平面ABE，所以BF⎳平面ABE， 显然这与BF∩平面ABE=F矛盾，所以假设不成立，即C错误； 对于D，当E，F运动时，由等体积法可知三棱锥B-AEF体积与三棱锥A-BEF的体积相等， 即V =V ； B-AEF A-BEF 1 易知三棱锥A-BEF的底面积S = EF⋅BB = 2， △BEF 2 1 1 易知AC⊥平面BEF，所以点A到平面BEF的距离为d= AC= 2， 2 1 1 2 所以V =V = S d= × 2× 2= ， B-AEF A-BEF 3 △BEF 3 3 即当E，F运动时，三棱锥B-AEF体积不变，即D正确.故选：C 高三数学（文科）入学考试参考答案 第2页（共8页）11.【详解】作OM⊥AB，垂足为M， 因为∠AOB=90°，OA  =OB  = 2a，所以AM  =BM  =OM  =a， 又FA=BP，所以M点为PF 中点，另外OF =OF， 1 1 1 2 1 所以OM⎳PF,OM= PF， 2 2 2 所以∠F 1 PF 2 =90°,PF 2  =2OM  =2a， 由双曲线的定义有PF 1  -PF 2  =2a，所以PF 1  =4a， 所以，在Rt△F 1 PF 2 中，F 1 F 2  = PF2+PF2= (2a)2+(4a)2=2 5a， 1 2 又F 1 F 2  =2c，所以2 5a=2c，化简得e= 5. 故选：D 12.【详解】因为x ≠x 时，恒有 φx 1 1 2  -φx 2  >0，所以φ(x)在R上单调递增， x -x 1 2 所以若φex-b  ≥φax  ，则ex-b≥ax，即ex≥ax+b， 构造函数fx  =ex-ax-bx∈R  ，fx  =ex-a， 若a=0，则fx  >0在x∈R上恒成立，而fx  ≥0恒成立，则b≤0，此时ab=0； 若a<0，则fx  >0，fx  单调递增，此时不可能恒有fx  ≥0； 若a>0，由fx  >0得x>lna，fx  单调递增， fx  <0得x0  ， 令ga  =a1-2lna  =0，得a= e， a∈0, e  时，ga  >0，ga  单调递增， a∈ e,+∞  时，ga  <0，ga  单调递减，所以ga  =g e max  e = ， 2 e 所以ab的最大值为 . 2 e 综上所述，ab的最大值为 .故选：B. 2      13.【详解】由题设a-2b=(-6,m+4)，且(a-2b)⊥b， 所以-6×1+(-2)×(m+4)=0，则m=-7. 故答案为：-7 14.【详解】∵f(x)是奇函数，所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12． 高三数学（文科）入学考试参考答案 第3页（共8页）15.【详解】如图，由题意，当平面CAD⊥平面ABD， ∵AB=AC=2，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即AD，BD，CD两两垂直， 2π π π 又∵∠BAC= ，∴∠BAD= ，∠ABD= ，AD=1，BD=CD=CD= 3. 3 3 6 如图，作长方体AEBD-AEBC，则三棱锥C-ABD的外接球， 即是长方体AEBD-AEBC的外接球， 设长方体AEBD-AEBC的外接球的半径为R， 则2R= AD2+BD2+CD2= 12+ 3  2+ 3  2= 7， 7 ∴R= . 2 ∴当三棱锥C-ABD体积最大时， 4 4 7 7 7 7π 其外接球的体积为V= πR3= π× = . 3 3 8 6 7 7π 故答案为： . 6 16.【详解】∵点F(2,0)为拋物线C的交点，∴抛物线C的标准方程为y2=8x， ∴抛物线C的准线l：x=-2过点M-2,0  ， 过点P向抛物线C的准线l作垂线，垂足为Q，由抛物线定义知，PF  =PQ  ， PM ∴当P在第一象限时，  PF  PM =  PQ  1 = PQ  PM  1 1 = = ， cos∠MPQ cos∠PMF π 由题意，∠PMF为直线PM的倾斜角，且0<∠PMF< ， 2 PM ∴当∠PMF最大时，cos∠PMF取最小值，  PF  1 = 取最大值， cos∠PMF 易知直线PM的斜率存在且为正，∴设直线PM的方程为l ：y=kx+2 PM  ，(k>0)， 当∠PMF最大时，直线PM与抛物线C相切， y2=8x ∴ y=kx+2    ，消去y，化简得k2x2+4k2-8  x+4k2=0，(k>0)， 令Δ=4k2-8  2-16k4=0，解得k=1，∴tan∠PMF=1， π π 又∵0<∠PMF< ，∴∠PMF= ， 2 4 PM ∴  PF  PM 的最大值为  PF    1 = = 2.故答案为： 2. π max cos 4 17.【解析】(1)根据列联表代入计算可得： 100×40×30-20×10 K2=  2 50 = ≈16.667>6.635， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 60×40×50×50 3 所以有99%的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 高三数学（文科）入学考试参考答案 第4页（共8页）(2)由题意可知，所抽取的6名学生高一年级有4人，记为A ，A ，A ，A ， 1 2 3 4 高二年级有2人，设为甲、乙．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有A,A 1 2  ，A,A 1 3  ，A,A 1 4  ，A,甲 1  ，A,乙 1  ，A ,A 2 3  ， A ,A 2 4  ，A ,甲 2  ，A ,乙 2  ，A ,A 3 4  ，A ,甲 3  ，A ,乙 3  ，A ,甲 4  ，A ,乙 4  ，甲,乙  ，共15个， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 其中至少有一人是高二年级基本事件有 A,甲 1  ，A ,甲 2  ，A ,甲 3  ，A ,甲 4  ，甲,乙  ，A,乙 1  ， A ,乙 2  ，A ,乙 3  ，A ,乙 4  ，共9个． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 9 3 故至少有一人是高二年级的概率P= = ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 15 5 18.【解析】(1)设等差数列a n  的公差为d． ∵a +a +a =15，a +a =4a ， 1 2 3 8 9 4 ∴   3a 1 +3d=15， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 2a +15d=4a +12d， 1 1 解得   a 1 =3， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 d=2. ∴a =3+2(n-1)=2n+1． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 n 1 1 1 1 (2)∵c = =  - n (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +⋯+ =  - + - +⋯+ - c c c 2 3 5 5 7 2n+1 2n+3 1 2 n  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 1 1 1 =  - 2 3 2n+3  ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 19.【解析】(1)如图、连接BD，1分 ∵AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC= 2， ∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．2分 ∵BB ⊥平面ABCD，∴BB ⊥BC， 3分 1 1 又BB ∩BD=B，∴BC⊥平面BBDD ，5分 1 1 1 ∵BM⊂平面BBDD ，∴BC⊥BM．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 1 1 1 1 (2)解：连接BM，BD． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 1 1 由已知可得BM= BD2+DM2=2，CM= CD2+MD2= 6， 1 1 1 1 高三数学（文科）入学考试参考答案 第5页（共8页）BC= BB2+BC2= 10， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 1 1 ∴CM2+BM2=BC2，∴BM⊥CM．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 1 1 1 设点B到平面MBC的距离为h， 1 由(1)知BC⊥平面BBDD ， 1 1 1 1 ∴三棱锥C-MBB 的体积 ×BC×S = h×S ， 1 3 △MBB1 3 △MB1C 10分 1 1 1 1 即 × 2× × 2×2 2= h× ×2× 6， 3 2 3 2 2 3 2 3 解得h= ，即点B到平面MBC的距离为 ． 12分 3 1 3 20.【解析】(1)由已知F 1 F 2  =4得c=2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 1 又S = ×4×b=4，b=2，∴a= 4+4=2 2． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 △PF1F2 2 x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 8 4 (2)由(1)知F 1 的坐标为-2,0  ， ①当直线l的斜率不存在时，AB  2 2AB =2 2，|OQ|2=8，则  =1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 |OQ|2 ②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2  且k≠0， y=k(x+2)  联立x2 y2 ，得2k2+1 + =1 8 4  x2+8k2x+8k2-8=0， 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  -8k2 8k2-8 ，则x +x = ，xx = ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1 AB  8k2 = 1+k2  2k2+1  2 8k2-8 4 2k2+1 -4× = 2k2+1  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 2k2+1 设点Q(x ,y )，则 y 0 =- 1 ，即x =-ky ，代入椭圆方程得 -ky 0 0 0 x k 0 0 0  2 y2 + 0 =1， 8 4 8 8k2 8k2+1 解得y2= ，x2= ，所以|OQ|2=x2+y2= 0 k2+2 0 k2+2 0 0  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 k2+2 2 2|AB| 所以 OQ  16k2+1 = 2  2k2+1 8k2+1  2k2+4 3 = = +1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 2k2+1 2k2+1 k2+2 2 2AB 又2k2+1>1，所以  的取值范围是1,4 |OQ|2  . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 2 2AB 综上所述，  的取值范围是1,4 |OQ|2  . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 高三数学（文科）入学考试参考答案 第6页（共8页）21.【解析】(1)当a=e时，fx  =ax-log a x=ex-lnxx>0  ， 设y=fx  过点0,1  的切线方程为l:y=fx 0  x-x 0  +fx 0  x 0 >0  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 fx 0  =ex0-lnx 0 ，fx 0  1 =ex0- ，代入切线方程得， x 0 1 y=ex0- x 0  x-x 0  1 +ex0-lnx =ex0- 0 x 0  x+ex01-x 0  -lnx +1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 0 因为l过点0,1  ，所以ex01-x 0  -lnx 0 +1=1，即ex01-x 0  -lnx =0， 0 令gx  =ex 1-x  -lnx，gx  1 =-xex- <0， x 所以gx  单调递减，又g1  =0，所以gx  有唯一零点x=1，即原方程的根为x=1， ⋯⋯⋯⋯⋯5分 1 代回切线方程得y=ex0- x 0  x+ex01-x 0  -lnx 0 +1=e-1  x+1 故y=fx  过点0,1  的切线方程为y=e-1  x+1． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 (2)因为fx  在0,+∞  上连续，又f1  =a>0， 所以要使fx  无零点，需使fx  >0在其定义域上恒成立． 则原问题转化为fx  =ax-log x>0，求a的取值范围， a lnx ax-log x>0⟺ax>log x⟺ax> a a lna ⟺axlna>lnx⟺axxlna>xlnx⟺axlnax>xlnx∗  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 令 x ℎ  =xex x>0  ，x ℎ  =x+1  ex>0，所以 x ℎ  单调递增， 又由∗  式得 lnax ℎ  > lnx ℎ  lnx ，所以lnax=xlna>lnx，即lna> 恒成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 x 令φx  lnx = ，φx x  1-lnx = ，令φx x2  =0得x=e， 当00，φx  单调递增；当x>e时，φx  <0，φx  单调递减， 所以x=e是φx  的极大值点，φx  =φe max  1 1 1 = ，所以lna> ，即a>ee． e e 1 综上所述，a的取值范围为ee,+∞  ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 22.【解析】(1)由曲线C 1 :   x y= = 2 2 s + in 2 θ cosθ (θ为参数, θ∈0,π  )， 消去参数θ，得x-2  2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4 ⋯⋯⋯⋯⋯2分 所以曲线C 1 的直角坐标方程为x-2  2+y2=4(0≤y≤2) ⋯⋯⋯⋯⋯3分 π 因为曲线C 是以1, 2 2  为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为0,1  ，半径为1， 故C 2 的直角坐标方程为：x2+y-1  2=1， 即x2+y2-2y=0，将  x y= = ρ ρ s c i o n s θ θ 代入可得：圆C 2 的极坐标方程为ρ=2sinθ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 高三数学（文科）入学考试参考答案 第7页（共8页）(2)因为曲线C 1 的直角坐标方程为x-2  2+y2=4(0≤y≤2).即x2+y2-4x=0， 将  x y= = ρ ρ s c i o n s θ θ 代入化简可得C 1 的极坐标方程为：ρ=4cosθ θ∈  0, π 2    ， π 所以C 的极坐标方程为ρ=4cosθ0≤θ≤ 1 2  ；C 的极坐标方程为ρ=2sinθ； 2 π 因为M、N是直线l:θ= ρ∈R 4  与曲线C 、C 的两个交点， 1 2 π 不妨设Mρ, 1 4  π ,Nρ , 2 4  π ，由(1)得C ：ρ=4cosθ0≤θ≤ 1 2  ，C ：ρ=2sinθ， 2 π π 所以ρ 1 =4cos 4 =2 2,ρ 2 =2sin 4 = 2，从而MN  =ρ 1 -ρ 2  = 2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 23.【解析】(1)解：当t=1时，f(x)= x-1+   x+1  2x (x≥1)  = 2 (-1≤x<1)，   -2x (x<-1) ∵fx  ≤8-x2 2x≤8-x2 当x≥1时，即  ，∴1≤x≤2； x≥1 2≤8-x2 当-1≤x<1时，即  ，∴-1≤x<1； -1≤x<1 -2x≤8-x2 当x<-1时，即  ，∴-2≤x<-1， x<-1 综上可得不等式的解集为-2,2  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）解：∵fx  =x-t  +x+t  ≥(x-t)-(x+t)  =2t  ，当且仅当x-t  x+t  ≤0时取等号， ∴f(x) min =2t  ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 又m>0，n>0且m+n=4， 4m2+n 4m 1 4m m+n 1 4m n 9 ∴ = + = + ≥ +2 ⋅ = mn n m n 4m 4 n 4m 4 4m n 4 16 当且仅当 = ，即m= ，n= 时等号成立， n 4m 5 5 4m2+n 9 所以 ∈  ,+∞ mn  4  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 9 根据题意可得 ≤2t 4  9 9 ，解得t≥ 或t≤- ， 8 8 9 ∴t的取值范围是-∞,- 8  9 ∪  ,+∞  8  . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分 高三数学（文科）入学考试参考答案 第8页（共8页）