衡阳县四中 2024-2025 学年下学期高一第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合 ，则 （ ）
M={x∣√x<4},N={y∣y=x2−2x} M∩N=
A．{x∣0≤x<16}B．{x∣−1≤x<16}
C．{x∣0≤x<2} D．{x∣x≥−1}
2．已知a,b∈R，则“ab>1”是“(a−1)(b−1)>0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知在正六边形 中， 是线段 上靠近 的三等分点，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 ，则
△ABC的形状为（ ）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
5．已知向量 满足 ， ， ，则向量 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
f (x)=cosx⋅ln(√x2+1−x)
A． B．
C． D．
7．已知函数f (x)=4cos(ωx+φ) (ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间
( 6φ)
的距离为5，则f − =（ ）
π
A．0 B．2φ C．4 D．φ2
8．设 为非零向量，若 ，则 的最大值与最小值的差为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若 ，则
C．若 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线D．若 ，则
10.在△ABC中， ，则角A为（ ）
A． B． C． D．
π
11．已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如下图所示，
2
则下列给论中正确的是（ ）
π
A．φ=
3
π
B．f (x) 的图象可由y=sin2x的图象向左平移 个单位长度得到
3
11π
C．x=− 是函数f (x)图象的一条对称轴
12
π
D．若|f (x )−f (x )|=2，则|x −x |的最小值为
1 2 2 1 2
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量 ， ，且 ，则 .
13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则
．
14．定义： 为实数 中较小似数.已知 { b }，其中
min{x,y} x,y ℎ =min a, a,b
a2+4b2
均为正实数，则 ℎ 的最大值是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. (本小题满分 13 分) 平面内给定两个向量（1）求 夹角的余弦值。
（2）求
π
cos( +x )sin(−x)
16．（15分）已知函数 2 .
f (x)=
tan(π+x)
12
(1)若f (x)=− ，且x∈(0,π)，求cosx−sinx的值；
25
π
( )
(2)设函数g(x)=2f (x)+sinx+cosx，若x∈ 0, ，求g(x)的最大值.
2
17．（15分）在△ABC中， .
(1)求角 ；
(2)若 .
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）若 ，求△ABC的面积 .
π
18．（17分）已知函数f
(x)=2sinxcosx−cos(
2x−
)
6
(1)求f (x)的单调递增区间；
π
(2)将f (x) 的图象向左平移 个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原
24
来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，若
，求 的取值范围；
∃x∈[0,π],√2g(x)+sin2x≤2m2−3m m3
(3)若方程f (x)= 在(0,π)上的解为x ,x (x <x )，求sin(x −x )．
5 1 2 1 2 1 2
19．在△ABC中，角 所对的边分别为 .
(1)若 ，求△ABC的面积S；
(2)若角C的平分线与 的交点为 ，求 的最小值.
数学答案
1．A
2．D
3．C
4．B
5．C
6．B
7．C
8．D
9．CD
10.AB
11．ACD12．
13.
1
14． /0.5
2
15.
16．
π
cos ( +x ) ⋅sin(−x)
【解析】（1）由题知 2 (−sinx)⋅(−sinx) ，
f (x)= = =sinxcosx
tan(π+x) tanx
12 12
因为f (x)=− ,x∈(0,π)，所以sinxcosx=− ，且sinx>0,cosx<0，
25 25
√ 24 7
所以cosx−sinx=−√(cosx−sinx) 2=−√1−2sinxcosx=− 1+ =− .
25 5
π
( )
（2）法一：因为x∈ 0, ，所以sinx>0且cosx>0.
2
由题设 ，
g(x)=2sinxcosx+sinx+cosx≤sin2x+cos2x+√2⋅√sin2x+cos2x=1+√2
√2
当且仅当sinx=cosx= 时取等，故g(x)的最大值为1+√2.
2
法二：令t=sinx+cosx，
π π
首先x∈ ( 0, ) ，所以sinx+cosx=√2sin(x+ )>1，
2 4
√2
其次t≤√2(sin2x+cos2x)=√2，当且仅当sinx=cosx= 时取等，
2
所以1<t≤√2，所以 g(x)=t2+t−1= ( t+ 1) 2 − 5 ,1<t≤√2 ，
2 4
当t=√2时，g(x) =1+√2，即g(x)的最大值为1+√2.
max
17．
【解析】：（1）因为 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
，
即 ，可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
（2）（ⅰ）∵ ，由余弦定理， ，又∵ （*），
整理得： ，即 ，代入（*）可得 ，
由余弦定理， ；
（ⅱ）∵ ，由（ⅰ）得： ，
解得 ，
∴ .
18．【解析】（1）
π π π
f (x)=2sinxcosx−cos( 2x− )=sin2x−cos2xcos −sin2xsin
6 6 6
√3 1 1 √3 π
=sin2x− cos2x− sin2x= sin2x− cos2x=sin( 2x− )
2 2 2 2 3
π π π π 5π
由2kπ− ≤2x− ≤2kπ+ ,k∈Z得kπ− ≤x≤kπ+ ,k∈Z，
2 3 2 12 12
所以 的单调递增区间为[ π 5π] ．
f (x) kπ− ,kπ+ ,k∈Z
12 12
π
（2）f (x) 图象上的所有点向左平移 个单位后，得到
24
y=sin ( 2 ( x+ π ) − π) =sin( 2x− π )
24 3 4
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
π
g(x)=sin(
x−
)
4
π
因为∃x∈[0,π],√2sin(
x−
)+sin2x≤2m2−3m，
4
所以当 x∈[0,π] 时，[ √2sin( x− π )+sin2x ] ≤2m2−3m
4
min
π
y=√2sin( x− )+sin2x=sinx−cosx+2sinxcosx=sinx−cosx+1−(sinx−cosx) 2
4
π
令t=sinx−cosx,x∈[0,π]，则t=√2sin ( x− ) ∈[−1,√2]
4
y=t+1−t2=− ( t− 1) 2 + 5，所以当 t=−1 时， y=−t2+t+1 取得最小值，最小值为
2 4
−1
所以 ，解得 或 1，故 的取值范围为( 1] ．
−1≤2m2−3m m≥1 m≤ m −∞, ∪[1,+∞)
2 2π 3
（3）因为x ,x
为方程sin(
2x−
)=
在(0,π)上的两解，
1 2 3 5
π
y=sin(
2x−
)
在(0,π)上的图象如图所示
3
π 5π
因为x <x ，则 <x < ．
1 2 6 1 12
5π 5π 5π
由图可知，x ,x 关于直线x= 对称，所以x +x = ，即x = −x
1 2 12 1 2 6 2 6 1
所以 sin(x −x )=sin ( 2x − 5π ) =sin( 2x − π − π )=−cos ( 2x − π)．
1 2 1 6 1 3 2 1 3
π 5π π π
因为 <x < ，所以0<2x − <
6 1 12 1 3 2
π 3 π 4
又因为sin(
2x −
)= ，所以cos(
2x −
)=
1 3 5 1 3 5
π 4
所以sin(x −x )=−cos( 2x − )=−
1 2 1 3 5
19．
【详解】（1）由
，
得 .
由正弦定理得 .
所以 ，
因为 ，所以 .在△ABC中， ，
由余弦定理 ，
得 ，解得 .
所以 .
即△ABC的面积S为 .
（2）因为 为角C平分线， ，所以 .
在 中， ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 .
因为 ，所以由基本不等式 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 的最小值为 .
