文档内容
衡阳县四中 2024-2025 学年下学期高一第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合 ，则 （ ）
M={x∣√x<4},N={y∣y=x2−2x} M∩N=
A．{x∣0≤x<16}B．{x∣−1≤x<16}
C．{x∣0≤x<2} D．{x∣x≥−1}
2．已知a,b∈R，则“ab>1”是“(a−1)(b−1)>0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知在正六边形 中， 是线段 上靠近 的三等分点，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 ，则
△ABC的形状为（ ）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
5．已知向量 满足 ， ， ，则向量 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
f (x)=cosx⋅ln(√x2+1−x)
A． B．
C． D．
7．已知函数f (x)=4cos(ωx+φ) (ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间
( 6φ)
的距离为5，则f − =（ ）
π
A．0 B．2φ C．4 D．φ2
8．设 为非零向量，若 ，则 的最大值与最小值的差为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若 ，则
C．若 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线D．若 ，则
10.在△ABC中， ，则角A为（ ）
A． B． C． D．
π
11．已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如下图所示，
2
则下列给论中正确的是（ ）
π
A．φ=
3
π
B．f (x) 的图象可由y=sin2x的图象向左平移 个单位长度得到
3
11π
C．x=− 是函数f (x)图象的一条对称轴
12
π
D．若|f (x )−f (x )|=2，则|x −x |的最小值为
1 2 2 1 2
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量 ， ，且 ，则 .
13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则
．
14．定义： 为实数 中较小似数.已知 { b }，其中
min{x,y} x,y ℎ =min a, a,b
a2+4b2
均为正实数，则 ℎ 的最大值是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. (本小题满分 13 分) 平面内给定两个向量（1）求 夹角的余弦值。
（2）求
π
cos( +x )sin(−x)
16．（15分）已知函数 2 .
f (x)=
tan(π+x)
12
(1)若f (x)=− ，且x∈(0,π)，求cosx−sinx的值；
25
π
( )
(2)设函数g(x)=2f (x)+sinx+cosx，若x∈ 0, ，求g(x)的最大值.
2
17．（15分）在△ABC中， .
(1)求角 ；
(2)若 .
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）若 ，求△ABC的面积 .
π
18．（17分）已知函数f
(x)=2sinxcosx−cos(
2x−
)
6
(1)求f (x)的单调递增区间；
π
(2)将f (x) 的图象向左平移 个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原
24
来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，若
，求 的取值范围；
∃x∈[0,π],√2g(x)+sin2x≤2m2−3m m3
(3)若方程f (x)= 在(0,π)上的解为x ,x (x 0,cosx<0，
25 25
√ 24 7
所以cosx−sinx=−√(cosx−sinx) 2=−√1−2sinxcosx=− 1+ =− .
25 5
π
( )
（2）法一：因为x∈ 0, ，所以sinx>0且cosx>0.
2
由题设 ，
g(x)=2sinxcosx+sinx+cosx≤sin2x+cos2x+√2⋅√sin2x+cos2x=1+√2
√2
当且仅当sinx=cosx= 时取等，故g(x)的最大值为1+√2.
2
法二：令t=sinx+cosx，
π π
首先x∈ ( 0, ) ，所以sinx+cosx=√2sin(x+ )>1，
2 4
√2
其次t≤√2(sin2x+cos2x)=√2，当且仅当sinx=cosx= 时取等，
2
所以1
