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高三数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，若 ，则
A. B. C. D.
3.若复数 满足 ，则
A. B. C. D.
4.
B. C. D.
A.
5.若正实数 ， ， 满足 ，则
A. B. C. D.
6.已知函数 的图象是连续不断的，且 的两个相邻的零点是 ， ，则
“ ， ”是“ ， ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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学科网（北京）股份有限公司C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线与圆
相切于点 ，且与双曲线的右支交于点 ，若 ，则该双曲线的离
心率为
A. B. C. D.
8.在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ，二面角
为 ，则该四棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9.某学校从高一年级 名学生中抽取部分学生某次考试的数学成绩进行统计，得到如
图 所示的频率分布直
频率
方图，则 组距
0.035
A.
0.025
0.020
B.估计高一学生数学成绩的平均分落在
a
C.估计高一学生数学成绩的第三四分位数为
D.估计高一学生数学成绩在 的学生人数为 50 60 70 80 90 100 分数
10.在正方体 中， ， 分别为线段 ， 上的动点，则
A.存在 ， 两点，使得
.
B
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学科网（北京）股份有限公司C. 与 所成的最大角为
D. 与面 所成的最大角的正弦值为
11.质点 和 在以原点 为圆心，半径为 的 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.
的角速度大小为 ，起点为 与 轴正半轴的交点； 的角速度大小为
，起点为射线 与 的交点.则当 与 重合时， 的坐标可以
为
A. B. C. D.
12.定义在 上的函数 满足 ，当 时，
.
当 时， ；当 时， .若关于 的方程
的解构成递增数列 ，则
A.
B.若数列 为等差数列，则公差为
C.若 ，则
D.若 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数
的值为________.
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学科网（北京）股份有限公司14. 展开式中含 项的系数为 .
15.已知函数 在 上是增函数，则 的取值范围是_______.
16.已知抛物线 的焦点为 ， 是 上的动点，过点 作直线 的
垂线，垂足为 ，则 的最小值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
中，角 所对的边分别为 记 的面积为 ，已知
在
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值.
18.（12分）
E F
，在多面体中，四边形 为直角梯
如图
形， 为矩形，平面 平面 ， B A
H
G
， ， ，
C D
， 是
的中点， 与 相交于点 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值.
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学科网（北京）股份有限公司19.（12分）
记数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）若 为等差数列，求 ；
（2）若 ，证明： .
20.（12分）
甲、乙、丙 人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余
人之一，设 表示经过 次传递后球传到乙手中的概率.
（1）求 ， ；
（2）证明： 是等比数列，并求 ；
3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，
（
则 ．记前 次（即从第 次到第 次传球）中球传到乙手中的次数为 ，
求 ．
21.（12分）
已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点 的坐标为
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学科网（北京）股份有限公司，过点 作直线交 于 ， 两点（异于 ， ），当 垂直于 轴时，
.
（1）求 的标准方程；
（2）直线 交直线 于点 ，证明： ， ， 三点共线.
22.（12分）
已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）设函数 ，若 是 的极大值点，求 的值.
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