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长沙市明德中学 2024 年下学期高一年级第一阶段检测
数学试卷
考试时间：120分钟考试 满分：150分 命题：高一数学备课组
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知集合 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
3.函数 的零点是（ ）
A. B.1，2 C. D.
4.“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知集合 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A.2 B. C.2或 D.4
6.对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.在整数集 中，被5除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即
，则下面选项正确的为（ ）
A.
B.
C.若 ，则D.整数 属于同一“类”的充分不必要条件是“ ”
8.在数学中，对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为
“不动点”函数，实数 为该函数的不动点.已知函数 在区间 上恰有两
个不同的不动点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合 ，若 ，则 的值可能是（ ）
A. B. C.0 D.2
10.对于实数 ，下列命题为假命题的有（ ）
A.若 ，则 .
B.若 ，则 .
C.若 则 .
D.若 ，则 .
11.已知集合 有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A.
B.
C.若不等式 的解集为 ，则
D.若不等式 的解集为 ，且 ，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是__________.13.研究问题：“已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式
”，有如下解决方案：
解：由 ，令 ，则 ，所以不等式
的解集为 .
参考上述解法，已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式
的解集为__________.
14.已知正数 满足 ，则 的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设全集为 ，集合 .
（1）分别求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围.
16.（本小题满分15分）
（1）已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围.
（2）已知 ，且 ，求 的最小值.
17.（本小题满分15分）
已知集合 且 .
（1）若“命题 ”是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18.（本小题满分17分）
近日，工业部发布的重大技术装备推广应用指导目录中，国产的氟化氪光刻机和氟化氩光刻以套刻
的惊人精度亮相，标志着中国在半导体制造领域的重大突破.此次突破的背后，是中国科研人员的不懈努力与自主创新.长沙某半导体企业原有400名技术人员，年人均投入 万元 ，现为加大对研发工作的
投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），
调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的
人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下
两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.
请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 .范围；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知集合 为非空数集，定义： .
（1）若集合 ，直接写出集合 ，
（2）若集合 ，且 ，求证： ；
（3）若集合 ，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值.长沙市明德中学 2024 年下学期高一年级第一阶段检测
数学答案
一､
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B D C C
题号 9 10 11
答案 BC ABD CD
三､
12. 13. 14.
四､
15.【答案】（1） 或 ；（2） .
【详解】（1）因为 ，则 ，
可得 或 ，所以 或
（2）因为 ，可知 ，且 ，可得 ，解得 ，所以实数 的取值范围为
16.【答案】（1） ；（2）10.
（1）由 得 ，
则 .
当且仅当 即 时取到最小值16.所以若 恒成立，则 .
（2）由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，结合 即 时，等号成立.故 的最小值为10.
17.【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）因为 ，所以
命题 是真命题，可知 ，
因为 ，
，故 的取值范围是 .
（2）若 是 的充分不必要条件，得 是 的真子集， ，
，解得 ，故 的取值范围是 .
18.【答案】（1）125.（2）存在， .【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
则 ，整理得 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，故 ，
所以要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人
员的人数最少为125人.
（2）由条件（1）研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得
，
上式两边同除以 得 ，整理得 ；
由条件（2）由技术人员年人均投入不减少，得 ，解得 ；
假设存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即 恒成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ，
又因为 ，当 时， 取得最大值23，所以 ，
所以 ，即 ，即存在这样的 满足条件，其范围为 .
19.【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）1350
【详解】（1）根据定义： 所以
；
（2）由于集合 ，且 ，所以 也只有四个元素，即，所以其余的则应满足 ，所以 ，
即 ；
（3）设 ，其中 ，不妨设 ，
则 ，所以 ，
因为 ，
因为 ，所以 中最小的元素为0，最大的元素为 ，
，所以 ，
实际上当 时满足题意，
证明如下：
设 ，则 ，
，依题意有 ，解得 ，
故 的最小值为675，于是当 时， 中元素最多，
即 时满足题意，
综上所述，集合 中元素的个数的最大值为1350.
