福建省龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）_2024-2025高一（7-7月题库）_2026年1月高一

连城一中 2025—2026 学年上期月考 2 高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 A． B． C．[3，5] D． 2．已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，则函数 在下列哪个区间 内必有零点 A． B． C． D． 3．已知函数y ax3 3(a0，且a1)的图象恒过点 ，若角的终边经过点 ，则 A． B． C． D． 4．在同一坐标系内，函数 （ ）和 的图象可能是 A． B． C． D． 5．“ 或 ”是“存在实数x使得不等式 成立”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 6．已知 ，且 ，则 的值为 A． B． C． D． 7．若函数 ( ， 为常数)在区间 上有最大值 ，则 在区间 上 A．有最小值5 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 8．已知正实数a，b满足 ，则A． B． C． D． 二、多项选择题 （本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9． 下列说法错误的是 A．15°与735°的终边相同 B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm，则扇形面积为 C．终边在直线 上的角 的取值集合可表示为 ； D．设 是第一象限角，则 为第一或第三象限角 10．已知 ，关于 的不等式 的解集为 ，则下列结 论 正确的是 A． B． 的最大值为 C． 的最小值为4 D． 的最小值为 11．已知函数 ，且 ，则下 列说法正确的是 A． B． C． D． 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若命题“ ，使得 ”是真命题，则实数m的取值范围为________． 13．已知函数 ，则 的定义域是_________． 14．若函数 满足：对于任意正数 ， ，都有 ， ，且 ，则称函数 为“ 函数”. 已知函数 （其中 为自然对数的底数， ）为“ 函数”，则实数 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知 ， ． （1）求 的值；（2）求 的值． 16．（本小题满分15分） 已知幂函数 的图象关于 轴对称． （1）求 的值； （2）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使 成 立，求实数 的取值范围． 17．（本小题满分15分） 新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意show展演活动.该活动得到了众 多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动 的学生人数如下表所示： 活动举办第 周 1 2 3 4 参与活动学生人数 （人） 55 71 3 (1)现有三个模型：① ，② 且 ，③ 且 .请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算 周后参与活动的学生人数 （人），并求出你选择模型的解析式； (2)已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中. （参考数据： ） 18．（本小题满分17分） 已知二次函数 满足 ，且 ．（1）求 的解析式； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数 有且仅有一个零点，求实数t的取值范围． 19．（本小题满分17分） 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有 100个长5米，宽 米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学 校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件 下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 （米），停车位相对道路倾斜的角度度 ，其中 ． （图1改造前）  （图2改造后） (1)若 ，求 和 的长； (2)求 关于 的函数表达式 ； (3)若 ，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？(参考数据： ，则 ， ) 2025—2026 学年第一学期联考 高一数学答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D A C B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13. 14. 14.【详解】当 ， 时，由 是“L函数”，得 ，即 对一切 恒成立， 因为 ，所以 对一切 恒成立，所以 ， 由 ，得 ， 所以 ，因为 ，所以 ， 由 对一切正数 ， ，恒成立，所以 ，即综上可知，实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）因为 ，则 ………………………………………………1分 …………………………………………2分 又 ，所以 ，………………………………………………………………3 分 则 …………………………………………………………………………4 分 所以 ………………………………………………………………………6 分 （2）原式 ………………………………………………………………10 分 (说明:每个诱导公式各占1分) …………………………………………………13分 (说明:公式约分占1分,答案占2分) 16. (15分) （1）由幂函数定义，知 ……………………………………………………………1 分 解得 或 ………………………………………………………………………………3 分 当 时， 的图象不关于 轴对称，舍去，………………………………………4 分 当 时， 的图象关于 轴对称，………………………………………………5 分 因此 ． …………………………………………………………………………………… 6分（2）设函数 的值域为集合 ，函数 的值域为集合 ， 由于对任意的 ，总存在 ，使 成立，所以 ………………………………………8分 当 时， 的值域 ，则集合 ……………………………………10 分 当 时， 的值域为 ，则集合 ………………11 分 又 ，得 ，………………………………………………………………… 14分 解得 ………………………………………………………………………………………15 分 17. (15分) （1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 且函数增长的速度越来越快，所以选择③ 且 ……………………1 分 代入表格中的三个点可得： ，………………………………………………… ４分 解得： ，…………………………………………………………………………………7 分 所以 .……………………………………………………………………8 分 （2）由（1）可知： ，令 ，……………………9分 整理得 ，不等式两边取常用对数得 ，即 . …………………………10分 因为 ，所以 ，……………………… 13分 (说明:不等式移项正确占1分，对数式化简占1分，代入数据估算占1分) 且 ，则 ，………………………………………………………………………… 14分 所以10周后，全校将有超过一半的学生参与其中.………………………………………… 15分 18.（本题17分） （1）因为 ， ，所以 ，…………………………………………1 分 则 ，又 所以 ………………………………………２ 分 所以 ，……………………………………………………………………………… ３分 解得 ……………………………………………………………………………………4 分 (说明:上述2步若合在一起写， 算错１个扣１分) 所以 ……………………………………………………………………………… 5分 （2）当 时，令 ，则 ，……………………………………… 6分 对任意 ， 恒成立，即 ， 等价于 在 上恒成立，………………………………………………8 分 因为 开口向上，对称轴为 ，所以 在 上的最大值为 ， 所以 ，………………………………………………9 分 所以实数 的取值范围为 ．……………………………………………………10 分 （3）因为函数 有且仅有一个零点， 令 ，所以关于 的方程 有且仅有一个正实根， 因为 ，所以 有且仅有一个正实根， ……………………………………………………11分 当 ，即 时，方程可化为 ，解得 ，不符合题意；…… 12分 当 ，即 时，函数 的图象是开口向上的抛物线，且 恒 过点 ，所以方程 恒有一个正实 根；………………………13分 当 ，即 时，要使得 有且仅有一个正实根， 则 ，解得 .…………………………………………16 分 综上，实数 的取值范围为 .…………………………………………17 分 19. （本题17分） （1）注意到 ，又 ，…………………………………… 1分 则 . 则 ，…………………………………………………………2 分 又 ，则 ， ；………………………………… 3分（2）由图可得： ，……………………………………………………4 分 又由（1），则 ， 即 ， ……………………………………………………5 分 （3）由（2）得： ………………………………… 6分 则 ， 则 ，………………………………………………7 分 化简得： ，解得 或 . 因 ，则 ，故 ， .…………………………………9 分 设改造后停车位数量最大值为 ．如图，过停车位顶点 做射线 垂线，垂足为 . 则顶点 到线段 距离为： …………………… 10分 又由图及题意可得： ， ，…………………… 11分则 ……………………………………………………………………12 分 注意到 ，则 . ，则 . 则 ， ，又 .……………………………… 14分 则 ，令 ……………………………………15 分 即 ，得 ……………………………………………………………………16 分 即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个．…………………17 分