数学一答案_2024年2月_01每日更新_08号_2024届陕西省西安中学高三模拟考试（一）_陕西省西安中学2024届高三模拟考试（一）数学（理科）

西安中学高 2024 届高三模拟考试(一) 数学（理科）参考答案 一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C B B A D C A C D B 二、填空题： 4 3 3 2 3 13. 14. −2 15. 16. 5 4 2 27 三、解答题： 17．解：（1）依题意可得a =1+2(n−1)=2n−1， n ∵2S =b2+b ①，当n2时，2S =b2 +b ②， n n n n−1 n−1 n−1 ①−② 2b =b2−b2 +b −b (b +b )(b −b )−(b +b )=0， n n n−1 n n−1 n n−1 n n−1 n n−1 (b +b )(b −b −1)=0，(n2)，∵b 0，∴b −b =1， n n−1 n n−1 n n n−1 且在①式中令n=1b =1或b =0（舍去），∴b =1+(n−1)1=n， 1 1 n 综上可得a =2n−1，b =n． n n a ,n为奇数 2n−1,n为奇数 （2）由（1）可得c = n = ， n 2b n,n为偶数 2n,n为偶数 ∴c +c ++c =(c +c ++c )+(c +c ++c ) 1 2 2n 1 3 2n−1 2 4 2n =(1+5++4n−3)+ ( 22 +24 ++22n) (4n−2)n 4 ( 1−4n) 4n+1−4 = + =(2n−1)n+ ． 2 1−4 3 18．解：（1）由题意得选手甲参加A项目合格的概率为 C30.55+C40.55+C50.55 =(10+5+1)0.55 =240.55 =0.5． 5 5 5 （2）选手甲应选择先进行B项目，理由如下： 由题意，若选手甲先参加A项目，则X 的所有可能取值为0,5,10， 则P(X =0)=1−0.5=0.5；P(X =5)=0.5(1−0.6)=0.2；P(X =10)=0.50.6=0.3， 所以累计得分X 的期望E(X)=00.5+50.2+100.3=4； 答案第1页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}若选手甲先参加B项目，则X 的所有可能取值为0,5,10， 则P(X =0)=1−0.6=0.4；P(X =5)=0.6(1−0.5)=0.3；P(X =10)=0.60.5=0.3， 所以累计得分X 的期望E(X)=00.4+50.3+100.3=4.54， 所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行B项目比赛． 19．（1）证明：在三棱柱ABC ABC 中，由CB⊥平面ABC，AC,BC平面ABC， 1 1 1 1 得CB⊥BC,CB⊥AC， 在平面BBCC内过B作BO⊥CC 于O， 1 1 1 1 1 由平面AACC⊥平面BBCC，平面AACCI 平面BBCC=CC ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 得BO⊥平面AACC，而AC平面AACC，则有BO⊥AC， 1 1 1 1 显然BO CB=B, BO,CB平面BBCC， 1 1 1 1 因此AC⊥平面BBCC，又BB 平面BBCC，所以AC⊥BB . 1 1 1 1 1 1 （2）过点C作Cz//CB，由CB⊥BC,CB⊥AC，得 1 1 1 Cz⊥CA,Cz⊥CB，由（1）知AC⊥平面BBCC，BC平面 1 1 BBCC，则CA⊥CB，即直线CA,CB,Cz两两垂直，以点C为原 1 1 点，直线CA,CB,Cz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 由AC=BC=BC =2，得A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),B(0,4,2)， 1 1 1 uuur uuur CB=(0,2,0),BA=(2,−2,0)， 3 10 假定在棱AB 上存在一点P，使二面角P−BC−C 的余弦值为 ， 1 1 1 10 uuur uuuur uuur uuur 令BP=BA =BA=(2,−2,0),01，则P(2,4−2,2)，CP=(2,4−2,2)， 1 1 1 r uuur r  nCP=2x+(4−2)y+2z=0 设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z)，则r uuur ， nCB=2y=0 r ur 令x=1，得n=(1,0,−)，显然平面BCC 的一个法向量m=(1,0,0)， 1 ur r 1 3 10 1 BP 1 依题意，cosm,n= = ，解得= ，即 1 == ， 1+21 10 3 A 1 B 1 3 3 10 BP 1 所以在棱AB 上存在一点P，使二面角P−BC−C 的余弦值为 ， 1 = . 1 1 1 10 AB 3 1 1 答案第2页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}20．解：（1） f (x)=lnx−x+(x−2)ex，f (1)=−1−e， 1  1 f(x)= −1+(x−1)ex =(x−1) ex−  ，f(1)=0， x  x 曲线 y= f (x)在点 (1, f (1)) 处的切线方程为y−(−1−e)=0，即y+1+e=0. （2） f (x)=lnx−x+(x−2)ex m对任意的x   1 ,1  恒成立， 2  1  1 f(x)= −1+(x−1)ex =(x−1) ex− ， x  x 令 h(x)=ex− 1 ，则函数h(x)在x   1 ,1  上单调递增，h   1  = e−20, h(1)=e−10. x 2  2 1  1 在唯一x 0  2 ,1  ，使得使得h(x 0 )=0，即ex 0 = x ，x 0 =−lnx 0 ， 0 1 且当 xx 时，h(x)0，即 f(x)0； 2 0 当x x1时，h(x)0，即 f(x)0. 0 1 所以，函数y= f(x)在区间( ,x )上单调递增，在区间(x ,1)上单调递减， 2 0 0  1  1  ∴ f(x) = f (x )=(x −2)ex0 +lnx −x =1−2x + ，x  ,1 max 0 0 0 0  0 x  0 2  0 1 1 1 则y=1−2(x + )在( ,1)上单调递增， 所以1−2(x + )(−4,−3)， 0 x 2 0 x 0 0 满足条件的实数m的最小整数值为−3. p 21．解：（1）抛物线E的准线方程为x=− ， 设点P到准线的距离为d． 2 p 由抛物线的定义，得 PF + PQ =d+ PQ 2+ =3，解得p=2， 2 当且仅当P,Q,F三点共线时，等号成立，所以抛物线E的标准方程为y2 =4x． （2）设A(x,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y )， 1 1 2 2 3 3 4 4 由题意可知，l,l 的斜率存在且均不为0， 设直线l 的方程为x=my+2， 1 2 1 将其代入y2 =4x，得y2−4my−8=0，则有y +y =4m． 1 3 1 4 同理可得：设直线l 的方程为x=− y+2，则y +y =− ． 2 m 2 4 m y +y y +y 2 所以y = 1 3 =2m,y = 2 4 =− ， M 2 N 2 m 答案第3页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}1 2 所以x =my +2=2m2+2，x =− y +2= +2， M M N m N m2 2 − y y 2m m 1 1 1 所以kk = M  N =  =− − =− ， 1 2 x M x N 2m2+2 2 +2 m2+ 1 +2 2 m2 1 +2 4 m2 m2 m2 1 当且仅当m2 = ，即m=1时取等号， m2  1  又易知k 1 k 2 0，所以k 1 k 2 的取值范围为   − 4 ,0  ． x=tcos π 22．解：（1）直线C 的参数方程为 （t为参数，0 ）， 1 y=tsin 2 故y=(tan)x，则sin=(tan)cos，即=； π 故C 的极坐标方程为：=,0 . 1 2 π π π 把C 绕坐标原点逆时针旋转 得到C ，故C 的极坐标方程为：=+ ,0 . 1 2 2 2 2 2 （2）曲线C 的极坐标方程为=8sin，且C 与C 交于点A，C 与C 交于点B， 3 1 3 2 3   π π 联立方程得，A(8sin,),B8sin+ ,+ ,   2 2 1 1  π π S = OA OB sinAOB= 8sin8sin + sin =32sincos=16sin216   AOB 2 2  2 2 . 故AOB面积的最大值为16. 23．解：（1）解法一：由 f (x)5，得 x+a +∣x−2∣5，由a0，则−a02， x−a −ax2 x2 等价于 或 或 ， −a+2−2x5 a+25 2x+a−25 答案第4页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}x−a x2   得 −a−3或 7−a. x x    2  2 7−a 因为不等式 f (x)5的解集为{x∣x−2或x3}，所以 =3，解得a=1， 2 x−a  当a=1时，由 −a−3，解得x−2，符合题意，故a=1. x   2 解法二：由 f (x)5，得 x+a + x−2 5，因为不等式 f (x)5的解集为{x∣x−2或 x3}， 所以 −2+a + −2−2 =5，3+a +3−2 =5，得a=1. 经验证，a=1符合题意，故a=1. （2）因为 f (x)= x+1+ x−2 x+1−(x−2) =3， 当且仅当(x+1)(x−2)0时取等号，所以M =3，所以b+c=3. 1 1 11 1  1b+1 c  1 b+1 c  所以 + =  +  (c+b+1)=  + +2   2  +2  =1， b+1 c 4c b+1 4 c b+1  4  c b+1  b+1 c 当且仅当 = ，即b=1，c=2时取等号. c b+1 答案第5页，共5页 {#{QQABKQKQggioABBAAAhCAwF4CEKQkACCCCoGxFAMMAIACQFABAA=}#}