文数答案_2024年4月_01按日期_16号_2024届四川绵阳南山中学高三4月绵阳三诊热身考试_四川省绵阳南山中学2024届高三下学期4月绵阳三诊热身考试数学（文）

绵阳南山中学高2021级高三下期绵阳三诊热身考试 数学（文科） 参考答案： 1-5DDCBD 6-10ACAAC 11．A 12．B 3 8 3 13．3 14．{a|a≤0} 15． 2 16． π 2 3 7 17．(1)没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异 (2) 10 100×20×20-20×40 【详解】(1)根据列联表中的数据，得χ2=  2 25 = ≈2.778< 40×60×40×60 9 3.841，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异 (2)这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人， 则抽取的男生有3人，女生有2人， 设男生为A ，A ，A ；女生为B ，B ． 1 2 3 1 2 则从这5人中选出2人的组合有 A 1 ,A 2  ， A 1 ,A 3  ， A 1 ,B 1  ， A 1 ,B 2  ， A 2 ,A 3  ， A 2 ,B 1  ， A 2 ,B 2  ， A 3 ,B 1  ， A 3 ,B 2  ， B 1 ,B 2  共10种， 其中至少有1人为女生的组合有 A 1 ,B 1  ， A 1 ,B 2  ， A 2 ,B 1  ， A 2 ,B 2  ， A 3 ,B 1  ， A 3 ,B 2  ， B 1 ,B 2  共7种， 7 故所求概率为P= . 10 18．(1)证明见解析 (2)2023 【详解】(1)∵a = 3a n ，∴ 1 = 2a n +1 = 1 ⋅ 1 + 2 ， n+1 2a +1 a 3a 3 a 3 n n+1 n n 1 1 1 2 1 1 可得 -1= ⋅ + -1=  -1 a 3 a 3 3 a n+1 n n  ， 3 1 2 1 又由a = ，所以 -1= ，则数列 -1 1 5 a 3  a 1 n  2 1 表示首项为 ，公比为 的等比数列. 3 3 1 2 1 (2)由(1)可得 -1= × a 3 3 n  n-1 1 =2⋅ 3  n 1 1 ，所以 =2⋅ a 3 n  n +1. 1 设数列  a n  的前n项和为S ， n 1 1 1 1 1 1 1 1 则S = + + +⋯+ =2 + + +⋯+ n a 1 a 2 a 3 a n 3 32 33 3n  +n 1 1 1- 3 3 =2×   n    1 +n=n+1- ， 1 3n 1- 3 1 1 若S <2024，即n+1- <2024，因为函数y=x+1- 为单调递增函数， n 3n 3x 所以满足S <2024的最大整数n的值为2023. n 1 19．(1)证明见解析 (2) a3． 32 【详解】(1)在三棱锥B-AEF中， 答案第1页 共4页 {#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，BE,BF⊂面BEF, 所以AB⊥面BEF．又EF⊂平面BEF，所以AB⊥EF； (2)因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点， 3 所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的 ． 4 又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等， 3 所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的 ， 4 3 因为V =V ，所以V = V ． E-ABF A-BEF E-AMNF 4 A-BEF 1 1 1 1 因为V = S ×AB= × ×BE×BF×AB= a3． A-BEF 3 △BEF 3 2 24 3 1 1 1 所以V = × a3= a3，故四棱锥E-AMNF的体积为 a3． E-AMNF 4 24 32 32 20．(1)f1  =2e (2)2 【详解】(1)当a=e时，fx  =ex-elnx+e， 所以f x  e =ex- ,x∈0,+∞ x  ， 易知f x  在 0,+∞  上单调递增，且f 1  =0， 所以当x∈0,1  时，f(x)<0,fx  在 0,1  上单调递减， 当x∈1,+∞  时，f x  >0,fx  在 1,+∞  上单调递增， 所以fx  在x=1处取得极小值f1  =2e. (2)因为a>0，所以fx  ex x ≥ka恒成立等价于 -ln ≥k恒成立. a a 设gx  ex x = -ln ，则g x a a  ex 1 = - ，易知g x a x  ex 1 = - 在 0,+∞ a x  上单调递增，且 当x→0时，g x  →-∞，当x→+∞时，g x  →+∞， 所以g x  在 0,+∞  内存在唯一零点x 0 ，即g x 0  ex0 1 ex0 1 = - =0, = * a x a x 0 0  ， 当x∈0,x 0  时，g x  <0,gx  在 0,x 0  上单调递减， 当x∈x 0 ,+∞  时，g x  >0,gx  在 x 0 ,+∞  上单调递增， 所以g(x) min =gx 0  . 结合 *  式，可知： gx 0  = ex0 -ln x 0 = ex0 +ln 1 +lna= 1 +ln ex0 +lna= 1 +x ≥2， a a a x x a x 0 0 0 0 当且仅当x =1,a=e时取等号， 0 即当a=e时，gx  的最小值为2， 要使gx  ≥k恒成立，须k≤2，即k的最大值为2. x2 y2 x2 y2 21．(1)椭圆C 所在的标准方程为 + =1，双曲线C 所在的标准方程为 - 1 16 12 2 2 2 =1 (2) CD⋅HF 2 是定值，为 2 ，理由见解析 BE⋅GF 2 4 答案第2页 共4页 {#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}x2 y2 【详解】(1)设椭圆所在的标准方程为 + =1a>b>0 a2 b2  ， x2 y2 双曲线所在的标准方程为 - =1m>0,n>0 m2 n2  ， 因为A2 2, 6  ,F 1-2,0  ,F 22,0  a2-b2=4 m2+n2=4   ，所以可得 8 6 ， 8 6 ， + =1 - =1 a2 b2 m2 n2  a2=16  m2=2 x2 y2 解得  b2=12 ，  n2=2 ，所以椭圆C 1 所在的标准方程为 16 + 12 =1，双曲线C 2 所在的 x2 y2 标准方程为 - =1； 2 2 (2) CD⋅HF 2 是定值，为 2 ，理由如下， BE⋅GF 2 4 x2 y2 由(1)椭圆所在的标准方程为 + =1， 16 12 x2 y2 双曲线所在的标准方程为 - =1， 2 2 因为直线BE与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线BE的斜率不为0， 设直线BE的方程为x=my+2，Bx 1 ,y 1  ,Ex 2 ,y 2  ,Cx 3 ,y 3  ,Dx 4 ,y 4  ， x2 y2 双曲线 - =1的渐近线方程为y=±x，所以m≠±1， 2 2 x +x y +y 可得G 3 4, 3 4 2 2  x +x y +y ，H 1 2, 1 2 2 2  ， x=my+2  直线BE的方程与椭圆方程联立 x2 y2 ，整理得 + =1 16 12 3m2+4  y2+12my-36=0， -12m -36 所以y +y = ,y y = ， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 所以 y -y = y +y 1 2 1 2  144m2 2-4y y = 1 2 3m2+4  144 m2+1 + =24 2 3m2+4 3m2+4  ， 2 x=my+2  直线BE的方程与双曲线方程联立 x2 y2 ，整理得 - =1 2 2 m2-1  y2+4my+2=0， -4m 2 所以y +y = ,y y = ， 3 4 m2-1 3 4 m2-1 所以 y -y = y +y 3 4 3 4  16m2 2-4y y = 3 4 m2-1  8 m2+1 - =2 2 2 m2-1 m2-1  ， 2 y +y  1 2 所以 CD⋅HF 2 = CD ⋅ HF 2 = y 3 -y 4  ⋅ 2 BE⋅GF 2 BE GF 2 y 1 -y 2   y 3 +y 4 2 答案第3页 共4页 {#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}m2+1 2 2 m2-1 =  2 m2+1 24 3m2+4  12m   × 3m2+4 = 2 ，所以 CD⋅HF 2 是定值 2 .  4m  4 BE⋅GF 2 4 2 m2-1 x2 y2 22．(1) + =1，x-y+4=0 (2) 10+2 2 18 2  x=3cosα+3sinα x 【详解】(1)由  (α为参数)得 y=cosα-sinα 3  2 +y2=2， x2 y2 即曲线C的普通方程为 + =1. 18 2 π 由ρsinθ- 4  =2 2得ρsinθ-ρcosθ=4，则直线l的直角坐标方程为y-x=4，即x -y+4=0. (2)设曲线C任一点P3 2cosθ, 2sinθ  ， 3 2cosθ- 2sinθ+4 则点P到直线l的距离d= =3cosθ-sinθ+2 2 2 =sinθ-3cosθ-2 2= 10sinθ-φ   -2 2(tanφ=3)， ∴当sinθ-φ  =-1时，d = 10+2 2， max 1 ∴△PAB面积的最大值为 ×2× 10+2 2 2  = 10+2 2. 3 23．(1)x-2≤x≤  2  ； (2)证明见解析. 【详解】(1)当x<-1时，fx  =-3x+1≤5-x，解得-2≤x<-1； 当-1≤x≤1,fx  =-x+3≤5-x，得-1≤x≤1； 当x>1时，fx  3 =3x-1≤5-x，可得14； 当-1≤x≤1时，fx  =-x+3≥2；当x>1时，fx  =3x-1>2， 则fx  的最小值为2，即M=2. 故a+b=2,0