文档内容
新疆维吾尔自治区 2024 年普通高考第二次适应性检测
数学
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本
试卷和答题卡相应位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，且 ，则
A． B． C．2 D．
2．已知集合 ， ，则下列选项中正确的是
A． B． C． D．
3．若函数 的图象关于点 对称，则
A． B． C．1 D．2
4．已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ， ，当 变化时，若 的最小值
为2，则
A． B． C． D．
5．设 是等差数列，下列结论中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．过点 且与曲线 相切的直线方程为
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． 或 D． 或
7．设 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， ，
分别为 的内心和重心，则
A．0 B．1 C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是
A．若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8
B．若随机变量 ， ，则
C．已知经验回归方程为 ，且 ， ，则
D．根据分类变量 与 成对样本数据，计算得到 ，依据小概率值 的 独立性检
验 ，可推断“ 与 有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001
10．已知 ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题正确的是
A．如果 ， ，那么
B．如果 ， ，那么
C．如果 ， ， ，那么
D．如果 ， ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等
学科网（北京）股份有限公司11．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，若 时，
，函数 ．若 与 恰有2024个交点 ，
， ， ，则下列说法正确的是
A．
B．函数 的图象关于直线 对称
C．
D．当实数 时，关于 的方程 恰有四个不同的实数根
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量 ， ，若 ，则 _________．
13．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，
农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为_________．（用数
字作答）
14．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面
均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形 ， ， 均为等腰梯形，
， ， ， ， 到平面 的距离为5， 与 间的距离
为10，则这个羡除的体积 _________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图， 中，点 为边 上一点，且满足 ．
（1）证明： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， ， ，求 的长度．
16．（15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言
来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用 （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入
的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为
50%．
（1）在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，
以 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
（2）设输入的问题出现语法错误的概率为 ，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求 的值．
17．（15分）已知椭圆 的左焦点为 ， 上任意一点到 的距离的最大值和
最小值之积为1，离心率为 ．
（1）求 的方程；
（2）设过点 的直线 与 交于 ， 两点，若动点 满足 ， ，动点
在椭圆 上，求 的最小值．
18．（17分）在圆柱 中， 是圆 的一条直径， 是圆柱 的母线，其中点 与 ， 不重
合， ， 是线段 的两个三等分点， ， ， ．
（1）若平面 和平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
（2）设平面 、平面 和底面圆 所成的锐二面角分别为 和 ，平面 和底面圆 所成的
锐二面角为 ，若 ，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）已知函数 ，其中 ．
（1）讨论 的极值点个数，并说明理由；
（2）若 ，设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，求证： ．
新疆维吾尔自治区 2024 年普通高考第二次适应性检测
数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．B 8．A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AC 10．ABD 11．BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．192 14．200
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
又 ，故 ， ，
由于 ，因此 ．
（2）由 ， ， 得， ，
学科网（北京）股份有限公司又 为三角形的内角，则 ，由（1）知 ，故 ．
因为 ，
所以 ，
故 ．
16．解：（1）易知 的所有取值为2，3，4，
， ， ，
故 的分布列为：
2 3 4
则 ．
（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件 ，记“输入的问题有语法错误”为事件 ，记“回答被采
纳”为事件 ，
由已知得， ， ， ， ， ，
，
，解得 ．
17．解：（1）设 ， ，
则 ．
又因为 ，所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司又椭圆的离心率 ，所以 ，则 ，
解得 ，故 的方程为 ．
（2）设 ， ， ，因为 ，
所以 ，
若 ，则 ，即 与 重合，与 矛盾，
若 ，则 ，即 与 重合，与 矛盾，
故 ，于是 ，将点 代入 ，
化简得 ，
同理可得， ，
故 ， 为方程 的两根，
于是 ，即 ，动点 在定直线 上．
令直线 ，当 与 相切时，记 ， 的距离为 ，则 ，
联立 可得 ，
由 ，解得 ，又 ，则 ，
此时，解得 ， ，即切点为 ，直线 ， 的距离为 ，
故 的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司18．（1）证明：由已知易得 是 的中点， 是 的中点，
，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
由线面平行的性质定理可得，
又 平面 ， 平面 ， 平面
（2）解：以 为坐标原点， 方向为 轴，底面圆 所在平面内垂直于 方向为 轴， 方向为
轴建立如图所示空间直角坐标系．
由对称性，不妨设 ，易得底面圆 的半径为1，则：
， ， ， ， ，
， ，
易知底面圆 的一个法向量为 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，解得 ，
．
， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，解得 ，
．
，且 ，
， ，
过点 作 的垂线，垂足为 点．因为 为圆柱的母线，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，
故 ，所以 为平面 和底面圆 所成锐二面角的平面角．
．
19．（1）解：由已知， 的定义域为 ，
①当 时， ，从而 ，
所以 在 内单调递增，无极值点；
②当 时，令 ，
学科网（北京）股份有限公司则由于 在 上单调递减， ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 是 的唯一极值点．
所以当 时， 在 上有且仅有一个极值点．
综上所述，当 时，函数 无极值点；当 时，函数 只有一个极值点．
（2）证明：由题意得 ，即
从而 ，即 ．
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 ，则 ，于是 ．
因为当 时， ，又 ，
故 ，即 ，
两边取对数，得 ，
于是 ，整理得 ．
以上解法仅供参考，如有其他方法，酌情给分．
参考答案解析
学科网（北京）股份有限公司1．D 法一： ， ， ， ， ．
法二： ， ， ，
2．B ， （A误） （B正确）
， （C误） （D错误）
3．D 关于 对称
则
4．C ．直线过 ，则
解析如图：
即 （当且仅当 时取得最小值）
5．C A． （误）
B． （误）
C． 应用一般不等式有： ，
又 故不存在 使原式取等情况， 正确
D． 与后式 或 无关且 、 只可能同时大于或小于 （误）
6． 切线， ，有： 解得 或
代入 可得 ．
学科网（北京）股份有限公司7．B ， ，
或 （舍），
8．A
法一：I：内心： G重心：
，
联立解分线上点到角两边距离相等不难求得：
，
法二：设 恰在上顶点，
9．AC A： ，正确
B：仍为0.21，错误
C：代入得 ， ，正确
D： ，错误
10．ABD C： 与 可呈任意关系，错误
11．BCD 为奇函数： ， ， 有对称轴
．
有对称中心： ，
学科网（北京）股份有限公司， 有对称中心
A： （误），B正确
C： 为奇函数且 有对称中心 ， ，
D：图象为： 求切线即可，D正确
12． ，
，
13．组合： 种
14．连接 、 、
学科网（北京）股份有限公司
