文档内容
江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
2．已知 ， 是两个不共线的单位向量，向量 ，则“ 且 ”
是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．设 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下．甲说：“乙在丙之
前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在
第四名”．若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为
A．第一名 B．第二名 C．第三名 D．第四名
6．已知 为抛物线 上一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ，，则 的最小值为
A． B． C． D．
7．若全集为 ，定义集合 与 的运算： ，则
A． B． C． D．
8．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若 ， 为正整数且 ，则
A． B．
C． D．
10．设函数 ，则
A． 是偶函数 B． 在 上单调递增
C． 的最小值为 D． 在 上有 个零点
11．已知圆 ： ，点 是 所在平面内一定点，点 是 上的动点，若线
段 的中垂线交直线 于点 ，则 的轨迹可能为
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有一组从小到大排列的数据：3，5， ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据
的中位数为__________．13．围棋起源于中国，至今已有 多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比
如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设
大
小为 的眼有 口气，大小为 的眼有 口气，则 与 满足的关系是
， ，
则 的通项公式为__________．
14．若 ， ， ， 四点均在同一球面上， ， 是边长为 的等边三角形，
则 面积的最大值为__________，四面体 体积取最大值时，球的表面积为
__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ，二面角
为直二面角．
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
16．（15分）
在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则
为：①每次祈愿获取五星角色的概率 ；②若连续 次祈愿都没有获取五星角色，
那么第 次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿
相互独立．设 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求 的概率分布；
（2）求 的数学期望．
参考数据： ．17．（15分）
已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，证明 ；
（2）讨论 的极值点的个数．
18．（17分）
已知等轴双曲线 的顶点分别为椭圆 ： 的焦点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）若 为 上异于顶点的任意一点，直线 ， 与椭圆 的交点分别为 ， 与
， ，求 的最小值．
19．（17分）
交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设 ， ， ， 是直线上互异且非无穷远的四点，则称 （分式中各项均为有向线段长度，例如 ）
为 ， ， ， 四点的交比，记为 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ， 为平面上过定点 且互异的四条直线， ， 为不过点 且互异的
两条直线， 与 ， ， ， 的交点分别为 ， ， ， ， 与 ， ， ， 的交点
分别为 ， ， ， ，证明： ；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若 与 的对应边不平行，对应顶
点的连线交于同一点，则 与 对应边的交点在一条直线上．江苏省四校联合2024届新题型适应性考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．D 2．A 3．C 4．B
5．B 6．C 7．A 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AD 10．ABC 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．7.5 13． 14．
；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）在四棱锥 中，因为二面角 为直二面角，所以平面 平面
，因为底面 为正方形，所以 ，而 平面 ， 平面
平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，又因为
， ， 平面 ， ，所以 平面 ，又因为 平
面 ，所以 ；
（2）分别取 ， 中点为 ， ，连接 ， ，因为
，所以 ，又因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，
， ，
， ， ， ， ，
， 设 是 平 面 的 一 个 法 向 量 ， 则 ， 即，不妨取 ， ，则 是平面 的一个法向量．
设直线 与平面 的夹角为 ，则 ．所以直线
与平面 所成的角的正弦值为 ．
16．解：
（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为 ， 的所有可能取值为 ， ， ，…， ．
从 而 ， ， ， … ，
，
．所以 的概率分布为 ．
（2） 的数学期望
，
，
，
，
因为 ，所以 ．
17．解：
（1）当 时， ， ， ， ，当 时，
， 单调递减；当 时， ， 单调递增，从而 ；（2）由题意知，函数 的定义域为 ， ，设
， ，显然函数 在 上单调递增， 与 同号，
①当 时， ， ，所以函数 在 内有一个零点，
所以函数 在 上有且仅有一个极值点；
②当 时，由第（1）问知，函数 在 上有且仅有一个极值点；
③当 时， ， ，因为 ，所以
， ，又 ，所以函数 在 内有一个零点，所以
函数 在
上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数 在 上有且仅有一个极值点．
18．解：
（1）椭圆 的 ，故 ， ，设等轴双曲线 的方程为
，
将 带入求得 ，故等轴双曲线 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，点 ， ， ，
的
坐标分别为 ， ， ， ，联立直线 与椭圆 ： ，
得
， ， ， 从 而，联立直线
与
椭圆 ： ，得 ， ， ，从
而
，联立直线 与 ： ，得 ，又 在双曲线
上，
带入得 ，化简得 ．从而
，当且仅当 ，即 时取等，
故 的最小值为 ．
19．解：
（1）；
2）
（
；
第（2）问图 第（3）问图
（3）设 与 交于 ， 与 交于 ， 与 交于 ，连接 ， 与
交于 ， 与 交于 ， 与 交于 ，欲证 ， ， 三点共线，只需证
在直线 上．考虑线束 ， ， ， ，由第（2）问知 ，
再考虑线束 ， ， ， ，由第（2）问知 ，从而得到
，于是由第（2）问的逆命题知， ， ， 交于一点，即
为点 ，从而 过点 ，故 在直线 上， ， ， 三点共线．
