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2024 届高三第三次模拟测试
数学试题
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， .则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 “ ”， “ ”，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
3.如图对两组数据 ， 和 ， 分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是
和 ，并对变量 ， 进行线性相关检验，得到相关系数 ，对变量 ， 进行线
性相关检验，得到相关系数 ，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.已知三棱锥 中， 是边长为2的正三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
分别是线段 的中点，若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 的值不可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.1 B.2 C.3 D.15
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 作直线 与双曲线 的右支交
于 ， 两点，若 的周长为 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 .则下列说法中错误的是（ ）
A.当 时， 在 上单调递增
B.当 时， 的最小值是一个与 无关的常数
C. 可能有三个不同的零点
D.当 时， 有且仅有一个零点
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 是单调递减的等比数列，若 ，前3项和 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 ，若 的图象关于直线 对称，则下列说法
正确的是（ ）
A. 的图象也关于直线 对称 B. 的图象关于 中心对称
C. D.
11.是椭圆 上所有的点绕原点旋转 角，得到椭圆 的方程：
，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.椭圆 的离心率为
学科网（北京）股份有限公司C. 是椭圆 的一个焦点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数 满足 ，则 ______.
13.在 中， ，则 ______.
14.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数（公约数只有I
的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则数列 的前 项和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点，如图2.将
沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠.使得平面 平
面 ，连接 .
图1 图2
（1）求证： ， ， ， 四点共面：
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值.
16.（15分）教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用“1”表示
投中，用“0”表示没有投中）：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
投篮情况 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1
序号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
投篮情况 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
把频率估计为概率：
（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31，32两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率；
学科网（北京）股份有限公司（2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32两次投篮投中的
次数为 ，写出随机变量 的分布列，并求 .
17.（15分）已知椭圆 的离心率为 ，过点 作斜率为 直线 与椭
圆 交于 ， 两点交于 ， （ 在 轴上方），当 时， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 与 轴交于点 ，若四边形 为等腰梯形，
求直线 的斜率 .
18.（17分）定义：若变量 ， ，且满足： ，其中 ， ， .称 是关于
的“ 型函数”.
（1）当 ， 时，求 关于 的“2型函数”在点 处的切线方程；
（2）若 是关于 的“ 型函数”，
（i）求 的最小值：
（ii）求证： ， .
19.（17分）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰
箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.
图1 图2
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 不能超
学科网（北京）股份有限公司过 ，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形
， ， ，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够，若以倾斜角
的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收，为了省力，小金选择
将冰箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面），推运过程中遇
到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.，记此冰箱水平截面为矩形 ， .设
，当冰箱被卡住时（即点 、 分别在射线 、 上，点 在线段 上），尝试用
表示冰箱高度 的长，并求出 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其
高度的最大值是多少？（结果精确到 ）
学科网（北京）股份有限公司2024届高三第三次模拟测试
数学参考答案及评分意见
一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目
要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C B A C
二、多项选择题：共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.1 14.
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ，
取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ， ，
由题意知 ， 都是等边三角形，
所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 的中点分别为 ， ，所以
所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
因为 ， 的中点分别为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面；
（2）连接 ， ，由题意知 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，同理 ，
所以 就是二面角 的平面角，
设 ，则 ， ， ，
所以 ，同理 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
16.【解析】（1）根据表中的数据，在甲前30次的投篮过程中，有19次投中，11次没有投中，因此因动
员甲投篮投中的概率 ，投不中的概率为 ，若甲各次投篮互相独立，那么第31，32次投篮，
恰有一次投中，一次没有投中的概率为 ；
（2）根据表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为 ，
上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为 ，
的所有可能取值为 ， ， ，且由表格可知第30次运动员甲没有投中，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
所以 .
17.【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
不防设椭圆的方程为 ，即 .
并与直线 联立方程
消去 得
设 ， ，则有 ，
由
所以 ，即
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）因为四边形 为等腰梯形，则必有 ，
即 ，不妨设 的中点为 ，则必有 ，
要求直线 的斜率，只需要转化为求点 的坐标，则有
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，则有 ，
有直线 的方程为 ，令 ，则有
不妨设直线 的方程为 ，
则有 ，
并与椭圆联立方程 ，消去 得
则有 ， ，则有
则有 ，所以
所以
所以 .
18.【解析】（1）由条件知 ， ，
所求切线方程为 ，即 .
（2）由已知得： ，即 ，
① .
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 时取得最小值.
②由 ，即 ，
则 ，且 ， .
可设 ， ，其中 ，
于是 .
记 .
.
由 ，得 ，记 ，
当 时 ，当 时， ，则
.
学科网（北京）股份有限公司所以 .
19.【解析】（1）过 ， 作水平线 ， ，作 ， ，如图，
当倾斜角 时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
，
故冰箱能够按要求运送入客户家中.
（2）延长 与直角走廊的边相交于 、 ，
则 ，
， ，
又 ，则
， .
设 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司再令 ，则 ， ，
易知， 在 上单调递增，
所以 ， 单调递减，
故当 ，即 ， 时，
取得最小值 ，
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米.
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