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江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 9 10 11
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AD BCD ABD
答案 B C D A C B D C
9.【答案】AD【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为 ，
1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
4.【答案】A由 ，得 ，即 ，
则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；
所以 .
对于B， 数据1，2， ，6，7的平均数是4， ，
5.【答案】C；6.【答案】B
这组数据的方差是 ，故B错误；
7.【答案】D【详解】丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一
队
对于C，8个数据50百分为 ，第50百分位数为 ，故C错误；
与丙比赛，丙输， ，例如是丙甲，
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲 对于D，依题意， ，则 ，
的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情
况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.
所以数据 的标准差为16，D正确.
若丙全赢（概率是 ）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD【详解】对于A项，如图所示，连接对应面对角线，
能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是 ，如平乙，输丁，则乙丁比
根据正方体的性质可知： ，
平面 ， 平面 ，
赛时，丁不能赢，概率是 ，
∴ 平面 ，同理可知 平面 ，
两场均平，概率是 ，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意， 又 平面 ，
∴平面 平面 ，
两场甲都输，概率是 ，乙丁这场比赛只能平，概率是 . 又 ，∴ 平面 ，
∴ 平面 ，故A正确;
综上，概率为 ，D正确．
对于B项，易知 面 ，
面 ，则 ，
8.【答案】C【详解】因为 为偶函数， ，所以 ，
又 平面 ，
对 两边同时求导，得 ，所以有
∴ 平面 ，而 平面 ，
所以函数 的周期为 ，在 中，令 ，所以 ， ∴ ，同理 ，
因此 ，因为 为偶函数， 又 平面 ，
∴ 平面 ，
所以有 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ，故B正确;
，
对于C项，因为 为定直线， 是定角， 到 的距离为定值，
由 可得： ，所以 .
所以 时， 在以 为旋转轴， 到 的距离为半径的圆锥上，
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学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，故平面 截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；
14.【答案】 .
对于D项，设 中点分别为N，Q，
则点A的运动轨迹是平面 内以N为圆心， 为半径的圆(如图)，
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15.(13分)解(1)由题可得：CD=2BD，故 …………………2分
又 ,即 ，
，即 ………………4分
在 中，根据余弦定理得
易知 平面 ，∴ 平面 ，
即 …………………6分
∵ 平面 ，∴平面 平面 ，
，即 ，…………………7分
而 ，
(2) ， …………………8分
设 与圆的交点分别为E，F(点E位于点F，Q之间，如上图所示)，
，即
易知当点A分别位于点E，F时，点A到平面 的距离分别取到最小值和最大值，
又 ， ①…………………11分
且距离的最小值 ，
又 ②，由①②得： …………………12分
距离的最大值 ，
…………………13分
∵ 的面积 ，
16.(15分)(1)证明：在 中 ， ………1分
D作DO⊥AC于点O，连接BO，则
故选项D正确．综上，正确选项为ABD． 过点
∴ ≌ ，即OD=OB=3………………3分
，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
又
12.【答案】 【详解】二项式 的展开式通项公式为 ，
又OD⊥AC， ………………5分
当 时， ，当 时， ，
又 ∴平面ACD⊥平面ABC…………………6分
因此展开式中含 的项为 ，故所求系数为 . (2)由(1)知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系 ，
，
13.【答案】 .
………………8分
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学科网（北京）股份有限公司设 是平面ABE的一个法向量 ，此时直线CD的方程为 ………………10分
(ii)当直线CD不垂直于x轴时，
则 ………………11分
…………………12分
，
故直线 的方程为 ………………12分
而 是平面ABC的一个法向量， ………………14分
令 y=0，则
设二面角 平面角的大小为 则
，
整理得 ，此时直线 经过定点 ……………14分
………………15分
综上，直线 经过定点 ………………15分
17.(15分)解(1)设 ，由题可知， ………………2分
另解：(ii)当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在 轴上，设
又 ，由 …………………4分
， ， ………………… 5分 由C、D、Q三点共线知
………………6分
（2)由题可知，直线MA的方程为： 化简得： ，则
此时直线 经过定点 ……………14分
联立方程 可得：
综上，直线 经过定点 ………………15分
=45>0………………7分
解法二：
(1)设 ，则 ，
， ………………8分
∵A、C、M三点共线，∴ ，…………………2分
又 ， ，
同理： ，∴ …………………4分
同理可得点D的坐标为 ………………9分
又点 在曲线E上，∴ ，代入上式得： ………………6分
(i)当直线CD垂直于x轴时， ，即 ,
(2)由
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学科网（北京）股份有限公司又 ，∴ …………………8分 2 0 0
由题可得直线CD显然不与x轴平行 …………………7分
设直线CD的方程为：
(2)当 …………………9分
由 得 …………………9分
故 …………………11分
…………………11分
= …………………13分
又
所以 ，…………………15分
…………………13分
由二项分布的期望公式可得 .…………………17分
由 …………………14分
∴直线CD： ，∴直线 经过定点 …………………15分
19.(17分)解(1)若 ，则 ，所以 ，
18.(17分)解(1)若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，…………………1分 所以 ，又 ，………………2分
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .………………3分
则P（X=0，Y=0）= ，…………………2分
(2)(i)由题意知 .
令 ，则 .
P（X=0，Y=1）= …………………3分
因为 有两个极值点 ， ，所以 有两个不等正实根 ， .
P（X=0，Y=2）= ，P（X=1，Y=0）= …………………4分
若 ， ，则 在 上递增，
所以 在 上至多有一个零点，不符合题意；………………5分
P（X=1，Y=1）= P（X=2，Y=0）= …………………5分
若 ，令 ，解得 ，
P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0…………………6分
故（X，Y）的联合分布列为 所以当 时， ，当 时， ，
（X，Y） 0 1 2
所以 在 上递增，在 上递减.
0
1 0 所以 时， 取得极大值，即最大值为 ，………………6分
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .………………7分
所以 在 上递增，因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
即 ，所以 ，………………16分
由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得 .………………8分
又 ， 所以 ，即 .
令 ，所以 ， 所以 .………………17分
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得 .………………10分
所以当 时， 有两个不等正实根 ， .
综上， 的取值范围是 .………………11分
(ii)证明：由①知 ，且 ，所以 ，
因为 在 上为增函数，及 ，所以 ，…………………12分
又 ，所以 .………………13分
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 .………………14分
令 ，所以 ，
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