文档内容
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1.若 则 （ ）
A.6 B.-6 C.3 D.-3
2.某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为： 则这5人成绩的上四分位数是
（ ）
A.90 B.75 C.95 D.70
3.生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体
其中四边形 与 都为等腰梯形 为平行四边形，若 平面 且
记三棱锥 的体积为 则该五面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知 则 （ ）
A. B. C. D.
5.将5本不同的书（2本文学书､2本科学书和1本体育书）分给甲､乙､丙三人，每人至少分得1本书，每本
书只能分给1人，其中体育书只能分给甲､乙中的1人，则不同的分配方法数为（ ）
A.78 B.92 C.100 D.122
6.已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直
线交双曲线于点 若 则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C. D.27.已知函数 的定义域为 为 的导函数，且
若 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正数 满足 则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知 是 的共轭复数，则（ ）
A.若 则
B.若 为纯虚数，则
C.若 则
D.若 则集合 所构成区域的面积为
10.如图，点 是函数 的图像与直线 相邻的三个交点，且
则（ ）
A.
B. 在 上单调递减C.
D.若将 的图像沿 轴平移 个单位长度，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
11.一个棱长为4的正四面体 容器 是 的中点 是 上的动点，则下列说法正确的是
（ ）
A.直线 与 所成角为
B. 周长的最小值为
C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球的半径的最大值为
D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设集合 ，则 则 的取值范围为
__________.
13.已知圆 与直线 交于 两点，则经过点 的圆的方程为__________.
14.已知等差数列 （公差不为0）和等差数列 的前 项和分别为 如果关于 的实系数方程
有实数解，则以下1003个方程 中，有实数解
的方程至少有__________个.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）
已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 在 上的单调递增区间；
（2）在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 且 求 的取
值范围.16.（15分）
如图，在四棱锥 中 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（15分）
王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘
坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
到校时 之 之
间 前 后
乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05
乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05
（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在 的概率为
0.35.）
（1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地
铁，反面向上则坐汽车，求他当天7：40-7：45到校的概率；
（2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于 则当
天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校，且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校
的时间是否早于 第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前
坐地铁的次数为 求 ；
（3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时
间早于 则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于 则当天他会乘
坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于 当天他都会乘坐
地铁去学校.记 为王老师第 天坐地铁去学校的概率，求 的通项公式.18.（17分）
已知 （其中 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
（3） 求 的取值范围.
19.（17分）
圆､椭圆､双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，如下方式可以得到部分的有心圆锥曲
线，已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数 其中 且
记点 的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点 若曲线 上两动点 均在 轴上方 且 与 相交于点 .
（i）当 时，求证： 的值及 的周长均为定值；
（ii）当 时，记 的面积为 其内切圆半径为 试探究是否存在常数 使得 恒成立？
若存在，求 （用 表示）；若不存在，请说明理由.参考答案及解折
一､选择题
1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.D
二､选择题
9.AB 10.ABD 11.ACD
三､填空题
12. 13. 14.502
四､解答题
15.解：（1）.
因为 所以
故 .
由
解得
当 时
又 所以 在 上的单调递增区间为 .
（2）由
得（
所以 .
因为 所以
又 所以
所以 .
因为 所以
所以所以 的取值范围为 .
16.（1）证明：因为
所以 所以 .
又 且 平面
所以 平面 .
（2）解：因为
所以 且 可知 .
在平面 内过点 作 轴垂直于 由（1）知 平面 以 所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
因为 所以
可得 .
设平面 的法向量为
则
取 得设直线 与平面 所成角为
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.解：（1）记事件 “硬币正面向上”，事件 “ 到校”，
则由题有 故
.
（2） 可取
由题得，对于
故
以上两式相减得
故
所以 .（3）由题得
则
这说明 是以 为首项 为公比的等比数列.
故
即 .
18.解：（1）当 时
则 .
因为 所以曲线 在点
处的切线方程为 .
（2）当 时 定义域为
则 .
令 则
当 时 ；当
时
所以 在 内单调递减，在 内单调递增，
.
存在 使得 ；存在 使得当 时 单调递增；
当 时 单调递减；
当 时 单调递增，
所以当 时 有一个极大值，一个极小值.
（3）
由 因为 得 .
令 则 在 上单调递减，
当 时
所以
所以
又
使得
即
当 时 即
当 时 即
所以 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 .
由
由 得即
由 得 所以
因为 所以设
则
可知 在 内单调递增
故 的取值范围是 .
19.（1）解：设 依题意得
两边平方去分母得
整理得
经化简得 的方程为
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线.
（2）设点 其中 且 .
（i）证明：由（1）可知 的方程为
因为
所以因此 三点共线，且 .
（解法一）设直线 的方程为
联立 的方程得
则
由（1）可知
所以
（定值）.（解法二）设 则有
解得
同理，由
解得
所以
（定值）.
由椭圆定义
得
因为
所以
解得
同理可得 .
所以.
因为 所以 的周长为 （定值）.
（ii）解：当 时，曲线 的方程为
轨迹为双曲线，
根据（i）的证明，同理可得 三点共线，且 .
（解法一）设直线 的方程为
联立 的方程得
所以
因为
所以将（*）代入上式，化简得
（解法二）设 依条件有
解得
同理，由
解得
所以
.
由双曲线的定义
得
根据 解得
同理根据 解得
所以由内切圆的性质可知
当 时 （常数）.
因此，存在常数 使得 恒成立，且 .
