湖北孝感高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷＋答案(1)_2024年3月_013月合集_2024届新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
1．抛物线y = x2的焦点坐标为（ ）．
2
1  1   1  1
A．  ,0 B．  ,0 C． 0,  D． 0, 
8  2   8  2
2．在等比数列{ a }中，a +a =82,a a =81,且前x项和S =121,x=（ ）．
n 1 x 3 x−2 x
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知m,n表示两条不同直线，α表示平面，则（ ）
A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C．若m⊥α,m⊥n,则n∥α D．若m∥α,m⊥n,则n⊥α
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，
则共有（ ）种停放方法．
A．72 B．144 C．108 D．96
     
5．已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内，且CD=3CE−2CA,若AC = xAB+ yBE,
则x+ y =（ ）．
A．5 B．7 C．9 D．11
x2 y2
6．函数）y = f(x)的图象为椭圆C: + =1(a>b>0)x轴上方的部分，若 f(s−t), f(s), f(s+t)成等
a2 b2
比数列，则点( s,t )的轨迹是（ ）．
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
 π 3 5  3π
7．已知x∈  0,  ,sinx+cosx= ,则tanx−  =（ ）．
 4 5  4 
A．3 B．−3 C．− 5 D．2
x2 y2 6
8．双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F,F ,离心率为 ,点P ( x ,y )是C的右支上异
a2 b2 1 2 2 1 1
 
于顶点的一点，过F 作∠FPF 的平分线的垂线，垂足是M,|MO|= 2，若C上一点T满足FT⋅FT =5,
2 1 2 1 2
则T到C的两条渐近线距离之和为（ ）．
学科网（北京）股份有限公司A．2 2 B．2 3 C．2 5 D．2 6
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知复数z ,z 是关于x的方程x2 +bx+1=0(−2<b<2,b∈R)的两根，则（ ）．
1 2
z
A．z = z B． 1 ∈R C． z = z =1 D．若b=1,则z3 = z3 =1
1 2 z 1 2 1 2
2
10．若函数 f(x)=2sin2 x⋅log sinx+2cos2 x⋅log cosx,则（ ）．
2 2
π
A． f(x)的最小正周期为π B． f(x)的图象关于直线x= 对称
4
 π 
C． f(x)的最小值为−1 D． f(x)的单调递减区间为 2kπ, +2kπ ,k∈Z
 4 
1
11．设a为常数， f(0)= , f(x+ y)= f(x)f(a− y)+ f(y)f(a−x),则（ ）．
2
1 1
A． f(a)= B． f(x)= 成立
2 2
C． f(x+ y)=2f(x)f(y) D．满足条件的 f(x)不止一个
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．集合A= { x∈R∣ax2 −3x+2=0,a∈R } ,若A中元素至多有1个，则a的取值范围是______________．
13．已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为______________时，圆锥的体积最大，
最大值为______________．
3 8
14．函数 f(x)= + (x∈R)的最小值______________．
2sin2 x+1 3cos2 x+2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．请在答
．
题
．
卡
．
指
．
定
．
区
．
域
．
内
．
作
．
答
．
，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
1 3
设 f(x)=alnx+ − x+1,曲线y = f(x)在点(1, f(1))处取用极值．
2x 2
（1）求a；
（2）求函数 f ( x )的单调区间和极值．
16．（本小题满分15分）
袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
17．（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司π
如图，在三棱柱ABC−ABC 中，AC = BB =2BC =2,∠CBB =2∠CAB= ,且平面ABC ⊥平面
1 1 1 1 1 3
BCCB．
1 1
（1）证明：平面ABC ⊥平面ACB ；
1
（2）设点P为直线BC的中点，求直线AP与平面ACB 所成角的正弦值．
1 1
18．（本小题满分17分）
   
已知抛物线E: y2 =4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足FA+FB+FC =0,则称
该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
19．（本小题满分17分）
  
对于给定的正整数n,记集合Rn = { α∣α=(x ,x ,x ,,x ),x ∈R, j =1,2,3,,n } ,其中元素α称为一个n
1 2 3 n j

维向量．特别地，0=(0,0,,0)称为零向量．
 
设k∈R,α=( a ,a ,,a )∈Rn,β=( b,b ,,b )∈Rn，定义加法和数乘：
1 2 n 1 2 n
  
kα=( ka ,ka ,,ka ) ,α+β=( a +b,a +b ,,a +b )．
1 2 n 1 1 2 2 n n
  
对一组向量α,α,…,α ( s∈N ,s≥2 ) ,若存在一组不全为零的实数k ,k ,…,k ,使得
1 2 s + 1 2 s
   
kα +k α ++k α =0,则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
1 1 2 2 s s
（1）对n=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
 
①α=(1,1,1),β=(2,2,2)；
  
②α=(1,1,1),β=(2,2,2),γ=(5,1,4)；
   
③α=(1,1,0),β=(1,0,1),γ=(0,1,1),δ=(1,1,1)．
学科网（北京）股份有限公司        
（2）已知α,β,γ线性无关，判断α+β,β+γ,α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
  
（3）已知m(m≥2)个向量α,α,…,α 线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明：
1 2 m
   
①如果存在等式kα +k α ++k α =0 ( k ∈R,i =1,2,3,,m ) ,则这些系数k ,k ,…,k 或者全为零，或
1 1 2 2 m m i 1 2 m
者全不为零；
       
②如果两个等式kα +k α ++k α =0,lα +l α ++l α =0 ( k ∈R,l ∈R,i =1,2,3,,m )同时
1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m 1 l
k k k
成立，其中l ≠0，则 1 = 2 == m ．
1 l l l
1 2 m
学科网（北京）股份有限公司数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A D A A A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．全部选对得6分，部分选对得 3分，有选
错得 0分．
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ABC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
题号 12 13① 13② 14
答案 9 49
a=0或a≥
6 16 3
8 π 13
3 27
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
1 3 a 1 3
（1） f(x)=alnx+ − x+1，则 f′(x)= − − ，
2x 2 x 2x2 2
又 f′(1)=0,故可得a−2=0,解得a=2；
1 3 (3x−1)(x−1)
（2）由（1）可知， f(x)=2lnx+ − x+1, f′(x)=− ，
2x 2 2x2
1
令 f′(x)=0，解得x = ,x =1，
1 3 2
 1 1 
又∵函数定义域为(0,+∞)，故可得 f(x)在区间 0,  和(1,+∞)单调递减，在区间  ,1 单调递增．
 3 3 
1
故 f(x)的极大值为 f(1)=0, f(x)的极小值为 f   =2−2ln3．
3
16．（15分）
3 2×3 3 2×1×3 1
（1）X的可能取值为1，2，3，P(X =1)= ,P(X =2)= = ,P(X =3)= = ，
5 5×4 10 5×4×3 10
故抽取次数X的概率分布为：
X 1 2 3
P 3 3 1
5 10 10
3 3 1 3
E(X)=1× +2× +3× = ．
5 10 10 2
3  3 3
（2）每次检验取到新球的概率均为 ，故X ~ B5,  ，所以E(X)=5× =3．
5  5 5
学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
（1）证明：因为AC =2BC =2,所以BC =1,
π π
因为2∠CAB= ，所以∠CAB= ．
3 6
BC AC 1 2
在△ABC中， = ，即 = ，
sinA sinB π sinB
sin
6
所以sinB=1,即AB⊥ BC．
又因为平面ABC ⊥平面BCCB,平面ABC平面BCCB= BC,AB⊂平面ABC,
1 1 1 1
所以AB⊥平面BCCB．
1 1
又BC ⊂平面BCCB,所以AB⊥ BC ,
1 1 1 1
π
在△BBC中，BB=2,BC =1,∠CBB = ，
1 1 1 3
π
所以BC2 = BB2 +BC2 −2BB⋅BC⋅cos =3，即BC = 3,
1 1 1 3 1
所以BC ⊥ BC．
1
而AB⊥ BC,AB⊂平面ABC,BC ⊂平面ABC,ABBC = B,
1
所以BC ⊥平面ABC．
1
又BC ⊂平面ACB ,所以平面ABC ⊥平面ACB ．
1 1 1
（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE,
以C为坐标原点，分别以CA,CE,CB 所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
1 3 
则C(0,0,0),B , ,0,A(2,0,0),B (0,0, 3),
 2 2   1
学科网（北京）股份有限公司1 3  3 3 
所以P , ,0,A  ,− , 3，

4 4


1
2 2


  5 3 3 
所以AP=− , ,− 3，
1   4 4  

平面ACB 的一个法向量为n =(0,1,0)，
1
设直线AP与平面ACB 所成的角为α,
1 1
则直线AP与平面ACB 所成角的正弦值为：
1 1
  3 3


AP⋅n
3 3
1 4
sinα=cos< AP, n >=   = = ．
1 AP ⋅|n| 25 27 10
1 + +3
16 16
18．（17分）
1
（1）解：设直线AB的方程为y =2x+t,与y2 =4x联立得y2 −2y+2t =0,∆=4−8t >0，得t < ，
2
设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ,C ( x ,y ) ,则y + y =2,y y =2t,
1 1 2 2 3 3 1 2 1 2
1
所以x +x = ( y + y −2t )=1−t,
1 2 2 1 2
      
由题意知F(1,0),因为FA+FB+FC =0,FA=( x −1,y ) ,FB=( x −1,y ) ,FC =( x −1,y ) ,
1 1 2 2 3 3
所以( x +x +x −3,y + y + y )=(0,0),
1 2 3 1 2 3
所以{ x +x +x =3,y + y + y =0，
1 2 3 1 2 3
所以{ x =2+t,y =−2，即点C的坐标为(2+t,−2),代入抛物线E的方程得：4=4(2+t)，解得t =−1,满
3 3
1
足条件t < ,
2
所以直线AB的方程为2x− y−1=0．
（2）证明：设直线BC的方程为x=my+n,与y2 =4x联立得y2 −4my−4n=0,
∆=16 ( m2 +n ) >0,所以n>−m2,y + y =4m,y y =−4n,
2 3 2 3
所以x +x =m ( y + y )+2n=4m2 +2n．
2 3 2 3
由（1）知{ x +x +x =3,y + y + y =0，所以 { x =3−4m2 −2n,y =−4m,
1 2 3 1 2 3 1 1
学科网（北京）股份有限公司即点A的坐标为 ( 3−4m2 −2n,−4m ) ．
3
又点A在抛物线y2 =4x上，所以16m2 =4 ( 3−4m2 −2n ) ,所以n= −4m2,
2
1
又n>−m2,所以m2 < ，所以点A的横坐标3−4m2 −2n=4m2 <2,
2
同理可证，B,C两点的横坐标也小于2．
所以△ABC三个顶点的横坐标均小于2．
19．（17分）
    
（1）解：对于①，设kα+k β=0，则可得k +2k =0,所以α,β线性相关；
1 2 1 2
   
对于②，设kα+k β+kγ=0,则可得{ k +2k +5k =0k +2k +k =0k +2k +4k =0,所以
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
  
k +2k =0,k =0,所以α,β,γ线性相关；
1 2 3
    
对于③，设kα+k β+kγ+kδ=0,则可得{ k +k +k =0k +k +k =0k +k +k =0,解得
1 2 3 4 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1    
k =k =k =− k ,所以α,β,γ,δ线性相关；
1 2 3 2 4
      
（2）解：设k (α+β)+k (β+γ)+k (α+γ)=0，
1 2 3
   
则( k +k )α+( k +k )β+( k +k )γ=0,
1 3 1 2 2 3
  
因为向量α,β,γ线性无关，所以{ k +k =0k +k =0k +k =0,解得k =k =k =0，
1 3 1 2 2 3 1 2 3
     
所以向量α+β,β+γ,α+γ线性无关，
   
（3）①kα +k α ++k α =0,如果某个k =0,i =1,2,,m，
1 1 2 2 m m i
     
则kα +k α ++k α +k α ++k α =0,
1 1 2 2 i−1 l−1 i+1 l+1 m m
因为任意m−1个都线性无关，所以k ,k ,k ,k ,,k 都等于0，
1 2 i−1 i+1 m
所以这些系数k ,k ,,k 或者全为零，或者全不为零，
1 2 m
②因为l ≠0，所以l ,l ,,l 全不为零，
1 1 2 m
      
l l
所以由lα +l α ++l α =0可得α =− 2α −− mα ，
1 1 2 2 m m 1 l 2 l m
1 1
    l  l    
代入kα +k α ++k α =0可得k − 2α −− mα +k α ++k α =0，
1 1 2 2 m m 1  l 2 l m  2 2 m m
1 1
学科网（北京）股份有限公司 l   l  
所以− 2 k +k α ++− m k +k α =0，
 l 1 2  2  l 1 m  m
1 1
l l
所以− 2 k +k =0,,− m k +k =0，
l 1 2 l 1 m
1 1
k k k
所以 1 = 2 == m ．
l l l
1 2 mt
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