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数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
1．抛物线y = x2的焦点坐标为（ ）．
2
1 1 1 1
A． ,0 B． ,0 C． 0, D． 0,
8 2 8 2
2．在等比数列{ a }中，a +a =82,a a =81,且前x项和S =121,x=（ ）．
n 1 x 3 x−2 x
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知m,n表示两条不同直线，α表示平面，则（ ）
A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C．若m⊥α,m⊥n,则n∥α D．若m∥α,m⊥n,则n⊥α
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，
则共有（ ）种停放方法．
A．72 B．144 C．108 D．96
5．已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内，且CD=3CE−2CA,若AC = xAB+ yBE,
则x+ y =（ ）．
A．5 B．7 C．9 D．11
x2 y2
6．函数）y = f(x)的图象为椭圆C: + =1(a>b>0)x轴上方的部分，若 f(s−t), f(s), f(s+t)成等
a2 b2
比数列，则点( s,t )的轨迹是（ ）．
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
π 3 5 3π
7．已知x∈ 0, ,sinx+cosx= ,则tanx− =（ ）．
4 5 4
A．3 B．−3 C．− 5 D．2
x2 y2 6
8．双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F,F ,离心率为 ,点P ( x ,y )是C的右支上异
a2 b2 1 2 2 1 1
于顶点的一点，过F 作∠FPF 的平分线的垂线，垂足是M,|MO|= 2，若C上一点T满足FT⋅FT =5,
2 1 2 1 2
则T到C的两条渐近线距离之和为（ ）．
学科网（北京）股份有限公司A．2 2 B．2 3 C．2 5 D．2 6
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知复数z ,z 是关于x的方程x2 +bx+1=0(−2= = = ．
1 AP ⋅|n| 25 27 10
1 + +3
16 16
18．（17分）
1
（1）解：设直线AB的方程为y =2x+t,与y2 =4x联立得y2 −2y+2t =0,∆=4−8t >0，得t < ，
2
设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ,C ( x ,y ) ,则y + y =2,y y =2t,
1 1 2 2 3 3 1 2 1 2
1
所以x +x = ( y + y −2t )=1−t,
1 2 2 1 2
由题意知F(1,0),因为FA+FB+FC =0,FA=( x −1,y ) ,FB=( x −1,y ) ,FC =( x −1,y ) ,
1 1 2 2 3 3
所以( x +x +x −3,y + y + y )=(0,0),
1 2 3 1 2 3
所以{ x +x +x =3,y + y + y =0，
1 2 3 1 2 3
所以{ x =2+t,y =−2，即点C的坐标为(2+t,−2),代入抛物线E的方程得：4=4(2+t)，解得t =−1,满
3 3
1
足条件t < ,
2
所以直线AB的方程为2x− y−1=0．
（2）证明：设直线BC的方程为x=my+n,与y2 =4x联立得y2 −4my−4n=0,
∆=16 ( m2 +n ) >0,所以n>−m2,y + y =4m,y y =−4n,
2 3 2 3
所以x +x =m ( y + y )+2n=4m2 +2n．
2 3 2 3
由（1）知{ x +x +x =3,y + y + y =0，所以 { x =3−4m2 −2n,y =−4m,
1 2 3 1 2 3 1 1
学科网（北京）股份有限公司即点A的坐标为 ( 3−4m2 −2n,−4m ) ．
3
又点A在抛物线y2 =4x上，所以16m2 =4 ( 3−4m2 −2n ) ,所以n= −4m2,
2
1
又n>−m2,所以m2 < ，所以点A的横坐标3−4m2 −2n=4m2 <2,
2
同理可证，B,C两点的横坐标也小于2．
所以△ABC三个顶点的横坐标均小于2．
19．（17分）
（1）解：对于①，设kα+k β=0，则可得k +2k =0,所以α,β线性相关；
1 2 1 2
对于②，设kα+k β+kγ=0,则可得{ k +2k +5k =0k +2k +k =0k +2k +4k =0,所以
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
k +2k =0,k =0,所以α,β,γ线性相关；
1 2 3
对于③，设kα+k β+kγ+kδ=0,则可得{ k +k +k =0k +k +k =0k +k +k =0,解得
1 2 3 4 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1
k =k =k =− k ,所以α,β,γ,δ线性相关；
1 2 3 2 4
（2）解：设k (α+β)+k (β+γ)+k (α+γ)=0，
1 2 3
则( k +k )α+( k +k )β+( k +k )γ=0,
1 3 1 2 2 3
因为向量α,β,γ线性无关，所以{ k +k =0k +k =0k +k =0,解得k =k =k =0，
1 3 1 2 2 3 1 2 3
所以向量α+β,β+γ,α+γ线性无关，
（3）①kα +k α ++k α =0,如果某个k =0,i =1,2,,m，
1 1 2 2 m m i
则kα +k α ++k α +k α ++k α =0,
1 1 2 2 i−1 l−1 i+1 l+1 m m
因为任意m−1个都线性无关，所以k ,k ,k ,k ,,k 都等于0，
1 2 i−1 i+1 m
所以这些系数k ,k ,,k 或者全为零，或者全不为零，
1 2 m
②因为l ≠0，所以l ,l ,,l 全不为零，
1 1 2 m
l l
所以由lα +l α ++l α =0可得α =− 2α −− mα ，
1 1 2 2 m m 1 l 2 l m
1 1
l l
代入kα +k α ++k α =0可得k − 2α −− mα +k α ++k α =0，
1 1 2 2 m m 1 l 2 l m 2 2 m m
1 1
学科网（北京）股份有限公司 l l
所以− 2 k +k α ++− m k +k α =0，
l 1 2 2 l 1 m m
1 1
l l
所以− 2 k +k =0,,− m k +k =0，
l 1 2 l 1 m
1 1
k k k
所以 1 = 2 == m ．
l l l
1 2 mt
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