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绝密★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）
数学
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设 为虚数单位，若复数 满足 ，则|| （ ）
A．1 B． C． D．2
2．已知集合 ，集合 ，则集合 与集合 的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．一个容量为10的样本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，则该组数据的上四分位数为（ ）
A．8 B．7.5 C．14.5 D．15
4．已知直线 与 交于 两点， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
5．考虑以 为样本空间的古典概型．设 和 定义在 上，取值于 的成对分类变量，则“
与 独立”是“ 与 独立”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条
件
学科网（北京）股份有限公司6． ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
7．已知数列 通项公式为 ，将数列 的公共项从小到大排列得到数列
，设数列 的阅 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表
面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．四个实数 按照一定的顺应构成一个等比数列，则 的可能取值有（ ）
A． B． C．128 D．
10．已知函数 且满足 ，对任意的
恒有 ，且 为 的极值点，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线与双曲线的右支交于
两点，记 的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为 ．若双曲线的离心率 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程： B．以 为直径的圆与直线 相切
学科网（北京）股份有限公司C． 内切圆半径最小值是 D． 的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数 的对称中心为_________．
13．抛物线 的焦点为 ，直线 过 分别交抛物线 于点 ，且直线 父
轴于 ，其中 ，则 点坐标为_________．
14．对于任意的实数 ，函数 在 上至少3个零点，至多4个零点，
则 的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战路举措．随
着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力，国产
某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市2023年前几个月的销售量（单位：辆），用
y表示第x月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：
1 2 3 4 5 6 7
2
32 37 45 47 52 60
8
（1）经研究， 满足线性相关关系，求 关于 的线性回归方程 （ 按四舍五入精确到
整数）；
（2）该市某 店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”
和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励5千元；“二等奖”奖励3千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．
在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为 ，获得一份纪念品的概率为 ，现有甲、乙两个客户参与抽
奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 （千元）的分布列及数学期望．
参考数据及公式： ．
16．（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司在 中，角 的对边分别为 ，若 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 为 上一点，且 为 的角平分线， ，求 的最大值．
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱 中， ．
（1）求证： ；
（2）若 为 的中点，三棱锥 的体积为1，线段 上是否存在点 ，使得二面角
的大小为 ，若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）设 ，证明：
（3）在（2）的条件下，若 ，
（ⅰ）证明：数列 和数列 均为等比数列；
（ⅱ）求 的通项公式．
19．（本小题满分17分）
如图，已知圆锥 的轴 与母线所成的角为 ，过 的平面与圆锥的轴所成的角为 ，该平面截这个圆
学科网（北京）股份有限公司锥所得的截面为椭圆 ，椭圆 的长轴为 ，短轴为 ，长半轴长为 的中心为 ，再以 为
弦且垂直于 的圆截面，记该圆与直线 交于 ，与直线 交于 ，设 ．
（1）求椭圆 的焦距；
（2）椭圆 左右焦点分别为 上不同两点 ，满足 ，设直线 交于点
，求四边形 的面积．
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