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学年高三备考核心模拟中期考试
2024-2025
数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
8 5 40 .
1.C
【解析】由A B，得 B，所以a 或a 当a 时，a ，此时B ，， ，满足条件A B；当a
2 2
⊆ 1∈ +1=1 =1. +1=1 =0 ={1 0 3} ⊆ =1
时，得a 或a 当a 时，集合A中两个元素相同，不满足集合元素的互异性；当a 时，B ，， ，不满
=1 =-1. =1 =-1 ={0 1 3}
足条件A B 故a
⊆ . =0.
2.B
【解析】由x 不能得到x ，但由x 可得出x ，故p是q的必要不充分条件
2 2 2 2
>2024 >2025 >2025 >2024 .
3.A
【解析】由z ，得z 3+i (3+i)( −i)
i=3+i = = =1−3i.
2
i −i
4.A
【解析】因为nb （ n，n），又a nb，n ，所以 m n n n mn n m ，得到m
= - ⊥ ≠0 (1, )⋅(- , )=- + = ( -1)=0 =1.
5.C
x
【解析】由1+ ，得x（ ，），又x π k k Z，所以f x 的定义域为（ ，）
x >0 ∈ -1 1 ≠ + π, ∈ ( ) -1 1 .
1− 2
x x x
又f x x 1- x 1+ x 1+ f x
(- )=tan(- )⋅ln x =(-tan )⋅(-ln x )=tan ⋅ln x = ( ),
1+ 1- 1-
所以函数f x 为偶函数，图象关于y轴对称，故 错误；
( ) B
x x
因为 1+ 2 ，且当x （ ，）时， 1+ x ，所以f x ，且在（ ，）内单调递增，故 、
ln x =ln(-1+ x ) ∈ 0 1 ln x >0,tan >0 ( )>0 0 1 A D
1- 1- 1-
错误
.
6.A
【解析】设圆锥的母线长为l，因为 6π，由扇形的弧长公式得6πl ，解得l S
216°= =6π =5.
5 5
圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，如图为圆锥的轴截面图，且内切球球心O一定在圆 D
O
锥的高SC上 设内切球的半径为r，OC OD r，在 SBC中，SB ，BC ，得SC 因为
. = = Rt△ =5 =3 =4.
A C B
SB
SBC SOD，得SO OD 5 r，由SO OC ，得5 r r ，解得r 3，故所求 （第 题答图）
Rt△ ∽Rt△ = BC ⋅ = + =4 + =4 = 6
3 3 2
球的体积V 4 r 3 4 3 3 9π
= π = π( ) = .
3 3 2 2
7.D
【解析】 按照从大到小的顺序排列： ， ， ， ， ， ， ， …，所以按从小到大的顺序排列的第
30×80%=24. 84 84 73 70 67 63 62 62
个数为 ，所以所求的 分位数为（ ）
24 62 80% 62+63 ÷2=62.5.
数学试题答案 第 页（共 页）
1 68.B
n n S S S
【解析】设等差数列 a 的首项为a，公差为d，则S na ( -1)d，所以数列 n 为等差数列，即有 m m- 2
{ n} 1 n= 1+ {n} 2m = m- +
2 2
S
m+ 2 ，代入得44 10 36 ，化简得m 2 m ，解得m 或m ，m所有取值的和等于
m+ m = m- + m+ - 26 + 88 = 0 = 22 = 4 26.
2 2 2
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 6 18 .
9.ABD
【解析】因为 a ，b ，c 所以c a b，bc 所以 、正确，错误 因为b
0.3
0< =0.2 <1 =ln0.2<0 =log2e>1. > > <0. A D C . =ln0.2<
，a ，所以ab a，所以 正确
0<1 >0 < B .
10.ABD
【解析】对于选项 ， π α π π α π α 3，正确；
A cos( - )=cos[ -( + )]=sin( + )= A
3 2 6 6 5
对于选项 ， π α π π α π α π α 2 π α 7 ，选项
B sin( -2 )=sin[ -( +2 )]=cos( +2 )=cos[2( + )]=1-2sin ( + )= B
6 2 3 3 6 6 25
正确；
对于选项 ， 5π α π α π α 3，故选项 错误；
C sin( - )=sin[π-( + )]=sin( + )= C
6 6 6 5
对于选项 ，由α π π ，得 π π α 2π，又因为 2π 3 3， π 1 3，所以π π α π，
D ∈(- , ) - < + < sin = > sin = < < + <
2 2 3 6 3 3 2 5 6 2 5 6 6 2
所以 π α 4，所以 α π α π π α π π α π 3 3 -4，故选项
cos( + )= sin =sin[( + )- ]=sin( + )cos -cos( + )sin = D
6 5 6 6 6 6 6 6 10
正确
.
11.AB
【解析】f x x ax a 因为函数 f x 在x 处有极值，则 f ，解得a 或a 当a 时，
2 2
′( )= - +( -3). ( ) = 1 ′(1)=0 = 2 = -1. = 2
f x x x x ，不满足条件；当a 时，f x x x x x ，当x 时，f（x） ，
2 2 2
′( )= -2 +1=( -1) ≥0 =-1 ′( )= + -2=( -1)( +2) >1 ′ >0
当 x< 时，f（x） ，即x 是f x 的极小值点，满足条件，故选项 正确；当x 时，f x 有极大值，极大
-2< 1 ′ <0 =1 ( ) A =-2 ( )
值为f 16，故选项 正确；当x 时，f x 有极小值，极小值为f 5，所以f x 有且仅有一个零点，故选
(-2)= B =1 ( ) (1)= ( )
3 6
项 错误；由（f a） （f ），（f a+ ） （f ），而函数f x 在（ ，）上单调递减，得（f a） （a+ ），故选项 错误
C = -1 1 = 0 ( ) -2 1 > 1 D .
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 5 15 .
π 2π 和 7π 3π （写成开区间或者半开半闭区间也正确）
12.[ , ] [ , ]
2 3 6 2
【解析】由 k x π k ，得π k x 2π k ,k Z，
2 π≤2 − ≤π+2 π + π≤ ≤ + π ∈
3 6 3
x π 3π ， f x 的单调递减区间为 π 2π 和 7π 3π
∵ ∈[ , ] ∴ ( ) [ , ] [ , ].
2 2 2 3 6 2
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2 61
13.
2e
【解析】设直线与曲线y f x 相切于点P（x，y），与曲线y g（x）相切于点Q（x，y），由f（x） 1得切线方程为
= ( ) 1 1 = 2 2 ′ = x
y x 1 x x ，又由切线过点（ 1），所以 1 x 1 x ，化简得 x 1，解得x ，所以切
-ln 1 = x ( - 1) 0, - - -ln 1 = x (0- 1) ln 1 = 1 = e
1 2 2 1 2
ì
ï ax 1 ,
ï2 2 =
线方程为y 1 x 1 由g（′ x） ax得í e 解得a 1
= - . =2 ï = .
e 2 ïax 2 1 x 1 , 2e
î 2 = 2 -
e 2
（ 分） 9（３分）
14.AB 2
16
【解析】因为 型的基因类型为 或 ，型的基因类型为 或 ，所以这对夫妻子女血型的基因类型有：
A ai aa B bi bb
父母血型的基因类型组合 子女血型的基因类型
ai×bi ab ai bi ii
ai×bb ab ab bi bi
aa×bi ab ai ab ai
aa×bb ab ab ab ab
以上 种情况是等可能的，构成了该事件的样本空间 其中基本事件，即基因类型 共有 个，所以子女的血型
16 . ab 9
中概率最大的是 型，概率值为 9
AB .
16
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . .
解：（）集合M na b，n N ，则集合M中元素个数的最大值为 ……………………………………… 分
15. 1 ={ | n= n ∈ * } 1. 2
设c a b，n N，
n= n- n ∈ *
因为数列 a 为单调递增数列，b 为单调递减数列，
{ n} { n}
可知数列 c 为单调递增数列 …………………………………………………………………………………… 分
{ n} . 4
所以c a b 至多有一个零点
n= n- n .
即集合M na b，n N 中至多有 个元素，故所求最大值为 …………………………………………… 分
={ | n= n ∈ * } 1 1. 6
（）数列 b 不是等差数列 ……………………………………………………………………………………… 分
2 { n} . 7
据题意，显然有a …………………………………………………………………………………………… 分
n≠0. 8
当 a 不是常数列时，不妨设数列 a 中连续 项依次为a，b，c，
{ n} { n} 3
则a c，b=a c …………………………………………………………………………………………… 分
≠ 2 + .① 10
则对应的数列 b 中连续的 项依次为1，1，1，
{ n} 3 a b c
欲使其成为等差数列，则需要 1 1 1 ……………………………………………………………………… 分
2b = a + c. 11
利用 ，化简得b ac，即（a c） ，即需有a c，与a c矛盾
① ²= - ²=0 = ≠ .
所以 b 不是等差数列 ………………………………………………………………………………………… 分
{ n} . 13
数学试题答案 第 页（共 页）
3 6a b c a b c
解：（）由 - 及正弦定理得 - ，
16. 1 B C = A B b c = a b
3sin +sin sin +sin 3 + +
即b c a bc，………………………………………………………………………………………… 分
2 2 2
+ - =- 3 2
又由余弦定理得a b c bc A，…………………………………………………………………………… 分
2 2 2
= + -2 cos 3
所以 A 3，………………………………………………………………………………………………… 分
cos =- 5
2
又A （ ，），
∈ 0 π
所以A 5π ……………………………………………………………………………………………………… 分
= . 7
6
（） DAC BAC BAD π，记 ADC ，则 ADB α；
2 ∠ =∠ −∠ = ∠ =α ∠ =π-
3
因为 CD BD，所以设BD= m，CD= m（m ）.
2 =3 2 3 >0
c c
在 ABD中， α ，即 α ………………………………………………………………… 分
Rt△ sin(π- )= m sin = m. 9
2 2
AC CD
在 ADC中， ，………………………………………………………………………………… 分
△ α = 10
sin sin∠CAD
b m b
所以 3 ，即 α
α = sin = m.
sin 3 2 3
2
c b
所以 ，得b c ………………………………………………………………………………… 分
m = m = 3 . 12
2 2 3
在 ABC中，由余弦定理，有 m 2 c 2 c 2 c c 3 ，
△ 25 =3 + -2⋅ 3 ⋅ ⋅(- )
2
c
整理得 m 2 c 2 ，即 5 ，………………………………………………………………………………… 分
25 =7 m = 14
7
c
所以 α 5 7 ………………………………………………………………………………………… 分
sin = m = . 15
2 14
解：（）证明：连接CD CC AA ，CD ，DP ，
17. 1 1 .∵ 1= 1=2 2 =2 = 2
CC CD
1
∴CD = DP.
又 CCD CDP ，
∠ 1 =∠ =90°
CCD CDP，
∴△ 1 ∽△
DCP+ CDC DCP+ CPD ，
∴∠ ∠ 1=∠ ∠ =90°
CP DC AB DC， CP AB ………………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 1.∵ 1∥ 1 ∴ ⊥ 1. 2
CD AC ，AD ，
∵ = =2 =2 2
AC +CD =AD，得AC CD ………………………………………………………………………………… 分
2 2 2
∴ ⊥ . 4
又 四棱柱ABCD ABCD 是直四棱柱，
∵ - 1 1 1 1
CC 底面ABCD， CC AC.又CD CC C，
∴ 1⊥ ∴ 1⊥ ∩ 1=
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4 6AC 平面CDDC …………………………………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 1 1. 5
CP 平面CDDC，
∵ ⊂ 1 1
AC CP 又AC AB A， …………………………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ . ∩ 1= 6
CP 平面ACB ……………………………………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 1. 7
（）由（）得AB，AC，AA 两两垂直，以A为原点，AB，AC，AA 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 … 分
2 1 1 1 . 8
则A（ ，，），C（ ，，），B（ ，， ），P（ ，， ），
0 0 0 0 2 0 1 2 0 2 2 -2 2 2 z
CP ，AP ，AB ………………………… 分 A D
=(-2,0, 2 ) =(-2,2, 2 ) 1=(2,0,2 2 ). 9 1 1
C
设平面PAB 的法向量为n （x，y，z），则由 B 1
1 = 1 P
{ {
AP n x y z
⋅ =0 得 -2 +2 + 2 =0,取n （ ， ， ）……………………… 分 D
A
AB n x z = -2 -3 2 . 11
1⋅ =0 2 +2 2 =0,
x B C
y
由（）得平面ABC的法向量为CP ，……………………………… 分
1 1 =(-2,0, 2 ) 12 （第 题答图）
17
CP n
则 CP,n ⋅ 10，……………………………………………………………………………… 分
cos = |CP| |n| = 14
⋅ 5
又因为二面角P AB C为锐二面角，
- 1-
所以二面角P AB C的余弦值为 10 ………………………………………………………………………… 分
- 1- . 15
5
解：（）当a 时，f x x x x x x ，………………………………………………………………… 分
18. 1 =1 ′( )= e -2 = (e -2) 1
由f（x） ，得 x ；f（x） ，得x 或x
′ <0 0< 0 <0 >ln2.
所以函数f x 在（ ， ）上单调递减，在［ ，），（ ，］上单调递增 ………………………………………… 分
( ) 0 ln2 -1 0 ln2 1 . 3
因为f f 所以函数f x 在区间［ ，］上的最大值为 ； …………………………………… 分
(0)=-1, (1)=-1, ( ) -1 1 -1 4
f 2 f 2 …………………………………………………………………… 分
(-1)=- -1, (ln2)=2(ln2-1)-(ln2) , 5
e
f f 2 2 2 2 2 2 2， ………………………………………… 分
(-1)- (ln2)=(ln2) -2ln2+1- =(ln2-1) - =(ln ) - 6
e e e e
因为 1 2 ，所以 1 2 ，则 2 2 1 2，得f f ，……………………………… 分
< <1 - 0
由h x ，得x ，由h x ，得x ，
′( )>0 >-2 ′( )<0 <-2
所以g x 在（ ， ）上单调递减，在（ ， ）上单调递增 …………………………………………………… 分
′( ) -∞ -2 -2 +∞ . 10
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5 6因为当x 时，a（x ） ，所以g x ，g x 在（ ， ）上没有零点
<-1 +1 <0 ′( )<0 ′( ) -∞ -2 .
又因为g a ，所以存在x ，使得g x
2
′(2)=3 e -2≥3e-2>0 0 ∈(-1,2) ′( 0)=0.
故g x 在（ ，x）上单调递减，在（x， ）上单调递增 ………………………………………………………… 分
( ) -∞ 0 0 +∞ . 12
要使f（x） ，只需g x ，即ax x x ，………………………………………………………… 分
0
′ ≥-1 ( 0)≥-1 0e -2 0 ≥-1 13
又因为g x a x x ，得a 2 ，
0
′( 0)= ( 0 +1)e -2=0 = x x
0
( 0 +1)e
代入ax x x 中，解得 1 x …………………………………………………………………… 分
0
0e -2 0 ≥-1 - ≤ 0 ≤1. 15
2
由a 2 得1 a
= x x ≤ ≤4 e.
( 0 +1)e 0 e
所以a的取值范围为 1 ………………………………………………………………………………… 分
[ ,4 e ]. 17
e
x x
-
解：（）因为y x e +e ，所以该函数定义域为R
19. 1 =cosh = .
2
x x
-
因为y e -e 为增函数，且当x 时，y ，………………………………………………………………… 分
′= =0 ′=0 1
2
所以当x ∞ 时，y ，y x单调递减；
∈(- ,0) ′<0 =cosh
当x ∞ 时，y ，y x单调递增 …………………………………………………………………… 分
∈(0,+ ) ′>0 =cosh . 3
当x 时，y x取得最小值 ，没有最大值 ……………………………………………………………… 分
=0 =cosh 1 . 4
（）函数f x 的定义域为（ ，），猜想其对称中心的横坐标为 ……………………………………………… 分
2 ( ) 0 2 1. 5
x x x x x x
-1 1- 1- -1
又因为f x f x e -e e -e 2- ，…………………………………… 分
( )+ (2- )= +ln x + +ln x =0 8
2 2- 2
所以曲线y f x 是中心对称图形，且对称中心是（ ，） ……………………………………………………… 分
= ( ) 1 0 . 9
x x x x x x x x
- - 2 -2 2 -2
（）（ ） 由题意知， 2 x 2 x e + e 2 e − e 2 e + 2 + e e − 2 + e ； …… 分
3 ⅰ ① cosh -sinh =( ) −( ) = − = 1 10
2 2 4 4
x x x x x x x x x x
- - 2 -2 2 -2 2 -2
由题意知， 2 x 2 x e +e 2 e −e 2 e +2+e e −2+e e +e x … 分
② cosh +sinh =( ) +( ) = + = =cosh2 . 11
2 2 4 4 2
（ ）由（ ）知 x x ，又因为a ，
2
ⅱ ⅰ cosh2 = 2cosh - 1 >1
所以可设a a t（a ），………………………………………………………………………………… 分
1= =cosh >1 12
则a a t t，
2 2
2 =2 1 −1=2cosh −1=cosh2
a t ，
2
3 =cosh(2 )
可知a n t …………………………………………………………………………………………… 分
n =cosh(2 −1 ). 14
a 2024 t 5
∴ 2025 =cosh(2 ) = .
3
u u
- u
记 2024t u，则e +e 5，解得 1或 ，u 或 ，则t ln3 ………………………………… 分
2 = = e = 3 = ln3 - ln3 =± . 16
2024
2 3 3 2
1 1 1 -1
a 1 ln3 22024 ln3 - 22024 1 22024 22024 ………………………………………………………………… 分
∴ = [(e ) +(e ) ]= (3 +3 ). 17
2 2
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6 6
