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2023—2024 学年第一学期 11 月六校联合调研试题
高三数学
2023．11
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|log x≤2}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∪B＝ ( )
2
A．(0，2) B．(－1，2) C．(－∞，4] D．(－1，4]
2．若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa＋b与－3a＋2b垂直，则λ＝ ( )
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 4 8 4
3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，
该圆台侧面积为3 5π，则原圆锥的母线长为 ( )
A．2 B． 5 C．4 D．2 5
4．已知x，y取表中的数值，若x，y具有线性相关关系，线性回归方程为^ y＝0.95x＋2.6，
则a＝ ( )
x 0 1 3 4
A．2.2 B．2.4
y a 4.3 4.8 6.7
C．2.5 D．2.6
5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(t，－1)，
5 π
若cosα＝ ，则tan(α＋ )＝ ( )
5 4
1 1
A．－3 B． C．－ D．3
3 3
3n2－2tn＋2，n≤7
6．已知数列{a
n
}通项公式为a
n
＝ 4n＋94， n＞7 ，若对任意n∈N*，都有a
n+1
＞a
n
，则
实数t的取值范围是 ( )
23 9 23 9 23
A．t∈[3，＋∞) B．t∈[ ， ) C．t∈( ， ) D．t∈[ ，＋∞)
14 2 14 2 14
x2 y2
7．已知圆C ：x2＋y2＝b2(b＞0)与双曲线C ： － ＝1(a＞0,b＞0)，若在双曲线C 上存在
1 2 2
a2 b2
π
点P，使得过点P所作的圆C 的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝ ，则双曲线C 的离
1 2
3
心率的取值范围是 ( )
5 5
A．(1， ] B．[ ，＋∞) C．(1， 3] D．[ 3，＋∞)
2 2
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)；且当x∈[0，1]时，
f(x)＝x3－x2＋x．则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为 ( )
A．6 B．12 C．14 D．10
二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20分．在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选
对的得 2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
－
9.已知复数z＝2＋i，z ＝x＋yi(x，y∈R)(i为虚数单位)，z 为z的共轭复数，则下列结论正
1
确的是 ( )
－
A． z 的虚部为－i B．z对应的点在第一象限
－
| z |
C． ＝1 D．若|z－z |≤1，则在复平面内z 对应的点形成的图形的面积为2π
1 1
|z|
10．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则 ( )
2 1 1
A． ＋ 的最小值为4 B．ab的最大值为
a b 8
1
C．a2＋b2的最小值为 D．2a＋4b的最小值为2 2
5
π π 2π
11．函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间[－ ，]上为单调函数，图象关于直线x＝ 对称，则( )
2 2 3
3
A．ω＝
4
2π
B．将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于y轴对称
3
14π 2π 14π
C．若函数f(x)在区间(a， )上没有最小值，则实数a的取值范围是(－ ， )
9 9 9
14π 4π
D．若函数f(x)在区间(a， )上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是[－ ，0)
9 3
x2 y2
12．已知椭圆C： ＋ ＝1(b＞0)的左右焦点分别为F ，F ，点P( 2，1)在椭圆内部，点Q
1 2
4 b2
在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是 ( )
2
A．离心率e的取值范围为(0， ) B．存在点Q，使得QF ·QF ＝0
1 2
2
2 6 1 1
C．当e＝ 时，|QF |＋|QP|的最大值为4＋ D． ＋ 的最小值为1
1
4 2 |QF | |QF |
1 2
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共20 分．
13．为全面推进乡村振兴，某市开展了“四季村晚”活动，晚会有《茉莉花》、《扬鞭催马运
粮忙》、《数幸福》、《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸
福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
14．设(2x－1)6＝a x6＋a x5＋…＋a x＋a ，则a ＋a ＋a ＝_____________（用数字作答）．
6 5 1 0 1 3 5
15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中
任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片
中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸
片的边数总和为___________．
16．如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，AC⊥AB，AC＝2，
1 1 1
AA ＝4，AB＝6，点E，F分别是AA ，AB上的动点，那么
1 1
C E＋EF＋FB 的长度最小值是 ，此时三棱
1 1
锥B -C EF外接球的表面积为 ．（第一空2分，
1 1
第二空3分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（本小题满分10分）已知正项数列{a } 的前n项和为 S ，a 2＋a ＝2S ＋2
n n n n n
数列{b
n
}满足b
n
＝a n·3a
n
．
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）求数列{b }的前n项和T ．
n n
18.（本小题满分12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＝c(a＋c).
π c
（1）若B＝ ，求 的值；
4 a
（2）若△ABC是锐角三角形，求 3sinB＋2cos2C的取值范围．
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}19．（本小题满分12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国
共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1
道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学
从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题
2
能答对，而他答对各道B类试题的概率均为 ．
3
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分
布和期望；
(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
20（. 本小题满分12分）已知在四棱锥C－ABED中，DE∥平面ABC，
AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC，点F为线段BC的中
点，平面DAC⊥平面ABC．
（1）证明：EF⊥平面ABC；
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求二面角B－AD－C
的余弦值．
x2 y2
21．（本小题满分12分）已知双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)经过点P(4，6)，且离心率
a2 b2
为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N.设点A，B为双曲线C
S
上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，若k ＋k ＝2，求 △MAB．
1 2 1 2
S
△NAB
a x2
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ex－ x3－ －2ax．
3 2
（1）当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）若在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
（3）若f(x)的最小值为1，求a的值．
{#{QQABQQKAgggAAgAAARhCUwWyCgIQkAAAAKoORFAIsAAAgRNABCA=}#}
