文档内容
腾冲市第八中学2024—2025学年下学期高二第一次月考 A． B． C．2 D．
数学试题
6．为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6
个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中
（考试时间：120分钟：满分：150分）
随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元
消费券的概率为（ ）
注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位
A． B． C． D．
置，在试题卷､草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂．
7．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件 为“第一次取出白
2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师．
球”，事件 为“第二次取出黑球”，则在 发生的条件下 发生的概率为 （ ）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
A． B． C． D．
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知由样本数据 组成一个样本，可得到回归直线方程为 8．已知等差数列 满足 ，则 （ ）
，且 ，则样本点 的残差为（ ）
A． B．1 C．0 D．
A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
2．某校为了丰富课后服务活动，提高学校办学水平和教育质量，开设近20门选修课供学
生自愿选择.甲、乙2名同学都对其中的合唱、足球、篮球、机器人课程感兴趣，若这2名
9．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列结论不正确的是（ ）
同学从这4门课程中各自任选一门课程参加，则不同的选法有（ ）
A．男人、女人中患色盲的频率分别为0.038，0.006
A．4种 B．6种 C．8种 D．16种
B．男、女患色盲的概率分别为 ，
3．设随机变量 服从两点分布，若 ，则成功概率
（ ）
C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的
A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 D．不能说明患色盲与性别是否有关
4．甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人
10．如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，且 ，则下列结论正确的
必须相邻，则不同的坐法共有（ ）
是（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
A．该正方体的外接球体积为
5． 的内角 的对边分别为 ， ，则
B．底面半径为 ，高为 的圆锥体能够被整体放入该正方体C．三棱锥 的体积为定值 表②
口罩等级 100等级 99等级 95等级
D．当 与 重合时，异面直线 与 所成的角为
利润/元
11．已知 为随机事件， ，则下列结论正确的有（ ）
(1) 表示一个口罩的利润，求 的分布列和数学期望；
A．若 为互斥事件，则 B．若 为互斥事件，则
(2)由于工厂中 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对 工序进行升级．在升级过
C．若 相互独立，则 D．若 ，则 程中，每个口罩检测成本增加了 ( )元时，相应的 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了 ;
试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则 与 应该满足怎样的关系?
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
16．如图是我国2010年至2018年 总量 （单位：万亿元）的折线图．
12．在二项式 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是 .
13．过三点 的圆的标准方程是 .
14．同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上
的次数为 ，则 的数学期望是 .
四､解答题：本题共5小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步
骤．
注：年份代码1~9分别对应年份2010~2018．
15．新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容
缓．某口罩加工厂加工口罩由 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序 (1)由折线图看出，可用一元线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数 加以说明（ 精确到
0.001）；
加工质量分为高和低两种层次级别， 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等
级； 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为 (2)建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01），并据此预测2022年我国 总量．
99.97%)； 工序的加工质量层次为高， 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤
参考数据：
等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．
表①:表示 三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润． ，
表①
参考公式：相关系数
工序
经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
概率17．如图，在四棱台 中， 平面 ．底面 是平行四边形， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C B D C ABD BC
， ，连接 、 ，设交点为 ，连接 ．
题号 11
答案 BCD
12．6
13．
(1)证明： ； 14．
15．
(2)若 ，且二面角 大小为60°，求三棱锥 外接球的表面积．
【详解】（1） 的可能取值为 ， ， ，
18．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，且经过点
； ； ；
所以 的分布列为
(1)求椭圆E的方程；
(2)求 的角平分线所在直线 的方程；
(3)在椭圆E上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理
由．
19．已知 ，函数 ， .
（2）设升级后一件产品的利润为 ，则 的可能取值为 ， ，
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
；
(2)证明： 存在唯一的极值点；
；
(3)若存在 ，使得 对任意 成立，求实数 的取值范围.
；
所以 ，
参考答案所以 ，
由 得 ，解得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以 与 满足的关系为 ( ).
因为 平面 ，所以 ，
16．
【详解】（1）由题得 ，
．
说明y与t的线性相关关系很强，可用一元线性回归模型拟合．
因为 为等边三角形， 为 中点，故 ⊥ ，
（2） ，由 可得 ． 因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
，
所以y关于t的经验回归方程 因为 平面 ，
将 代入得 ． 所以 ；
所以预测2022年我国 总量为110.69万亿元． （2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
17．
因为 ，所以 ，
【详解】（1）连接 ，
故 ，设 ， ，
因为底面 是平行四边形， ， ，
设平面 的法向量为 ，
A B C D
所以 为等边三角形，底面 为菱形，则上底面 1 1 1 1也为菱形，
又 ，故 ， 则 ，
又 四点共面，故 ，
令 得 ， ，
因为 ，所以 ，
故四边形 为平行四边形，故 ， 故三棱锥 外接球的半径为 ，
平面 的法向量为 ，
故三棱锥 外接球表面积为 .
18．
故 ，
【详解】（1）椭圆E经过点 ，
二面角 大小为60°，
即 ，解得 ，
可得 ，解得 ，
因此可得椭圆E的方程为 ；
（2）由（1）可知， ，
思路一：
取 的中点 ，由于 ⊥ ，
由题意可知 ， ，如下图所示：
故三棱锥 外接球的球心 在平面 的投影为 ，
连接 ，过点 作 平行 ，交 于 ，
设 ，则 ， ，
又 ，
由勾股定理得 ， ，
设角平分线上任意一点为 ，则
故 ，解得 ，
得 或
又易知其斜率为正，∴ 的角平分线所在直线为
∴ ，
思路二：椭圆在点 处的切线方程为 ，
因此 ，
根据椭圆的光学性质， 的角平分线所在直线 的斜率为 ，
联立 可得 与点A重合，舍去，
所以 的角平分线所在直线 ，
故不存在满足题设条件的相异的两点．
即
19．
（3）思路一：假设存在关于直线 对称的相异两点 ，
【详解】（1）由题意知， ，
设 ，
所以 ，
又 ，
联立 可得 ，
所以曲线在点 处的切线方程为 ，即 .
∴线段 中点为 在 的角平分线上，
（2）证明：由 ， ，
即 ，解得 ；
①当 时， ，则 在 上单调递增，
因此 与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点． ②当 时，设 ，则 ，
思路二：假设存在关于直线 对称的相异两点 ，线段 中点
所以 ，故 在 上单调递减，
，
又 ， ，
由点差法可得 ，即 ；
所以由零点存在性定理可知，存在唯一 ，使得 ，即 .所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
综述： 在 上单调递增，在 上单调递减，存在唯一 ，使得
.
故 ，
故 存在唯一的极值点.
当 时， ， ；当 时， ， ，
（3）由（2）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
由题意知， ，
故 的取值范围为 .
即 ，
化简得 ， ，
设 ， ，
由题存在 ，使得 ，
所以 ， .
又
