文档内容
2024-2025学年安康市高三年级第三次质量联考
数学试卷
注意事项：
1 .答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动、用椽皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3 .考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的圈个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设集合17=[1,2,3,4,5,6),4={1,2,3),8={2,4,6},则([14)八8=
A. (6) B. {4,6) C {2,4,6} D. {2,4,5,6}
2.已知复数 z=3—2i,则(n—z)z=
A. 8+121 B. 8-12i C.-8+12i D. -8-12i
3.有一组样本数据』，工2，・一与，其平均数为三,方差为4,若样本数据一』+1,一工2+1，…,
一4+1的平均数为三，方差为迷，则
A. J72=J：1—1 B.X2=X1 C.S|=S2 D.S；＞S：
4已知抛物线—=16?上的点M到焦点F的距离为6,则点M到y轴的距离为
A.272 B.W2 C.2 D.4
5 3
5 .已知a=111方,6=方y=10823,则
A. a+l %+2 桁+3 々加+之。21
11.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个
单位长度，移动6次，则
A.蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是表
B.蚂蚁移动到点(3,3)的概率为岛
C.蚂蚁回到原点的概率为悬
D.蚂蚁移动到直线y =工上的概率为弓
10
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 .若函数 ksin皿3>0)的最小正周期为千，则3= ▲ .
13 .函数fGr)=z2(ln工一D的谡小值为 ▲ .
a v2
14 .已知双曲线C：三一3= l(a>0,6>0)的左、右顶点分别为A1,Az，F是双曲线C的左焦
点,P为双曲线C的左支上任意一点(异于点A]),若NFFA2=2NFA2F,则双曲线C的
离心率为 ▲ .
【高三数学第2页(共4页)]四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .(13 分)
在AABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a Ac,已知asin C=csin 2A.
(1)求角A的大小；
(2)若AABC的周长为3a •证明:△ABC为等边三角形.
16 . (15 分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形,PA=AD=2,AB=4,AD_LPB,PA
_LAB,E是线段AB的中点.
(D证明:PA J_平面ABCD.
(2)求平面APE与平面CPE夹角的余弦值.
17 . (15 分)
现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中,其中甲袋中有3个红色小球和
3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球.小明先从甲袋中任取2个球不放
回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球;若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋
中取1个球.
(D求小明第二次取到的球是红球的概率；
(2)记X为小明取到的红球个数，求X的分布列及期望值.
【高三数学第3页(共4页)]18 .（17 分）
2 2
给定椭圆C：3+% = l（〃>6>0）,将圆心为坐拆原点,6为半径的圆称为椭圆C的“内切
a b
圆”.已知椭圆c：3+方=1（〃>6>0）的两个顶点为A（O,1）,B（O,-D漓心率为9.
a D 4
（1）求椭圆C的方程.
（2）直线Z过椭圆C的右焦点，并与椭圆C相交于E,G两点，且|EG|=）,求直线/的
方程.
（3）M是椭圆C的“内切圆”上一点（M与A ,B不重合），直线AM与桶圆C的另一个交点
为N.记直线BM,BN的斜率分别为M也，证明:空为定值.
力2
19.（17 分）
已知函数/（x） =3x2-8sin（x+^），其中I夕
⑴若/（工）是偶函数,求夕；
⑵当（p=0时，讨论”］）在［0,+8）上的零点个数；
⑶已知少£ （一半。］,若Vz>0,f （工））。，求cp的取值范围.
【高三数学第4页（共4页）】2024-2025学年安康市高三年级第三次质量联考
数学试卷参考答案
1.B 由题可知 CuA = {4,5,6},所以（CuA）nB = {4,6}.
2. D 由 z = 3-2i,可得 $=3+2i,故（z-1）z = （3-2i-3-2i）（3-2i） = -4i（3-2i） = -8
-12i.
3. C由题可知支2 = —必+l，s：=M ,故选C.
4.B设MG。,？。），因为点M到焦点F的距离为6,所以y0 + 4 = 6,解得）。=2.因为式=
16yo,所以|所| =4夜，即点M到y轴的距离为44.
5
5. A a = ln wVlV6,2c=21og23=log29>3=2Z>,所以 «<60）,由S产2s3-Sz+6,可得劭=。3 + 6,因为。2 = 1，所
以 q2=q + 6,解得 q=3,故=々21 = 27.
7. D 连接ED（图略），则匕）川惭=4><3><6义2偌=12乃,%皿=4义6><焉><2乂2乃=
O O u
46,故六面体ABCDFE的体积为16痣.
8. A 因为/Q・ + l）+i为偶函数，所以一 1）一1,两边同时对1求导得
，（1+]） + 1 = —/'（1一]）一1,即，（1+3）+，（1-2 = -2,令Z = 0,则 /'（1） = 一1,又
，（1+l）+/'（1一胃）=一2,所以 /'（一比）=一2一 /'（2+i）,因为/'（1）为奇函数，所以
/'（一]）=一/'包）,两式联立得一/'包）=一2—，（2+彳），即/'包+ 2）=/'（1） — 2,所以
/（101）=/,（2X504-l）=/（l）-2X50=-101.
9. ABD |。|=厅百=所,A 正确;a+25 = （l,2）+2（l,-l） = （3,0）,B 正确；
:面、义\
cos〈a,B〉= = _噜>（3错误;a在b上的投即向量的坐标为宿=
-1） = （ y ,4-） ,D正确.
10. ABD 令相=1,可得 <2"+]=〃“+（2]+2〃=4"+27? + 1,即 a”+] —a” =2〃+l>0,B 正确;
彳~-^—=
a„ —a |+（42-即）+（43—42）+，" +（々”-a„-i） = 1 + 3+5+…+ 2〃 1 =
产,所以卬= 16,匕”}不是等差数列，A正确,C错误；
因为★=*； = ! — *，所以南+春+ W +…+藐% =（】一3）十
弓得）+…+忌得）=算口正确.
11. ACD蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是（十）3 =专,A正确.
将蚂蚁向上、下、左、右四个方向移动的步数分别记为U,D,L,R,则U+D+L+R = 6.
【高三数学•参考答案 第1页（共5页）】 ..蚂蚁移动到点(3,3),则。=3,。= 01=0,1? = 3,所以蚂蚁移动到点(3,3)的概率为* =
念，B错误.
蚂蚁移动到原点，则 U-D = O，L—R=O,当 U=D = 3,L=H=0 或 U=D = 0,L=R = 3
时，有 2a=40种走法;当 U = D = 1,L=R = 2 或 U=D = 2,L=R = 1 时，有 2C|C；Cj =
400 2S
360种走法.所以蚂蚁回到原点的概率为学=彘,C正确.蚂蚁移动到点(2,2),则U—D
= 2,R—L = 2,则U=3,D = l,R = 2,L=0或U=2,D=0,R = 3,L = l,有C；戢C； = 120 种
走法.蚂蚁移动到点(1,1),则 U-D = 1,R-L = 1,当。=3,£) = 2,火=1,1 = 0或。=1,。
=0,R = 3,L=2 时，有 2C|Cf = 120 种走法；当 U=2,D = 1,R = 2,L = 1 时，有 C|C；Cj =
180种走法.所以蚂蚁移动到直线丁=支上的概率为(2°+12°+；?°)X2+400 =卜，口
正确.
12.8依题意得红=手，所以3 = 8.
O) 4
13. —
t
1)+彳=£(2仙1),支＞0,令，(龙)=0,解得比=e"所以/(1)在
乙
1 ± 1 / 1 \
(0,r)上单调递减，在(e" +8)上单调递增，故/(%)的最小值为/(e7 ) = ex(y-l) =
__e
~~2,
14. 2 设 P(£o，y()),则 x0< a，不妨令 yQ>0. tanZ-PFA2=—~r~,tanZ,PA2F=
lo十c
2yQ
—2”o(1ro-a) —2vo(io—a)
所以 tan 2/_PA2F=--- —―-
(a。-a"一代
(x0—a)z—b2(^ — l)
J。-a
—2»o _ -2^o _ . f ~ 一 Vo
再--------不 _ tan/P——汴,
~b^ =
xQ-a--- 7(io+a) (1
a ' 一了
15. (1)解：由 asin C=csin 2A 及正弦定理，得 sin Asin C=sin Csir12A. ......... 2 分
因为 sin C>0,所以 sin A =2sin Acos A, ................................ 4 分
则 cos A = •，得 A = ^\ ............................................. 6 分
Lt O
(2)证明：由余弦定理得/+,.2—6,=/. .................................. 8分
【高三数学•参考答案 第2页(共5页)】因为△ABC的周长为3a ,即。+c = 2a , ... 9分
所以 4/+4c2-4A = (6+c)2,即(〃一c)2=0, 11分
所以b = c=a，故△ABC为等边三角形........... 13分
16. (1)证明：由题意得 ABJ_AD,因为 ADJ_PB,ABnPB = B,ABU 平面 PAB,PBU 平面
PAB,所以 ADJ_平面 PAB,......................... 3分
又 PAU平面 PAB,所以 AD_1_PA..................... 5分
因为 PAJ_AB,ABnAD=A,
所以PAJ_平面ABCD.............................. 7分
(2)解：由(1)知AB,AD,AP两两互相垂直，以A为坐标原点,
AB,AD,AP所在直线分别为z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
则 A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(4,2,0),E(2,0,0),所
以 PC=(4,2,-2),PE = (2,0,-2). 8分
设平面CPE的法向量为〃 = Cr,y,z),
n • PC=0, 4支+2)-2z = 0,
则 _A 即 令2=1,得 1 = 1,丁 = -1,
2a——2z = 0,
n • PE=Qy
所以〃 =(1,- 1,1)................... 10分
又平面PAE的一个法向用为无方=(0,2,0), 12分
_A__D_ _• _n_ _ 2
所以 |cos〈A$,〃〉| =
\AD\\n\ 一痣X2- 3 '
/o
故平面APE与平面CPE夹角的余弦值为号. 15分
O
17.解：(1)设“小明第一次取到的2个球颜色不同”为事件4，“小明第一次取到的2个球都是
红球”为事件A、，“小明第一次取到的2个球都是白球”为事件43，“小明第二次取到的球是
红球”为事件B,
C'C1 9 c2 -I-C2
则 P(B)=P(A])P(B|A|)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)= Mx? + ^r^
J 4
xA = 23
X 5 50,
2?
所以小明第二次取到的球是红球的概率为邕. 6分
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
C 3 3
P(X=0) =£ X^ =蓝，....................................................................................................... 7分
Cr o Zb
2 2 19
P(X = 1) = X 5 CC ICS 2 6 X - 4 = - 5 - O 9分
C2 3 2 21
-
C
3
- 2 5
CC JCJ
2 6 - 4 11分
6
-
5
-
O
【高三数学•参考答案 第3页(共5页)】P(X 3)廉X 5 25.
X的分布列为
X 0 1 2 3
3 19 21 2
P
25 50 50 25
12分
Q 1 Q 91 9 74
E(X)=0X- + lX-+2X-+3X- = - 15分
a2=b2+c2,
18.(1)解：由题意得1邑=9， ......................................... 2分
…a 2'
6=1,
解得 a=2,〃 = l, .................................................... 3 分
所以椭圆C的方程为亨+丁 = 1. ....................................... 4分
(2)解：由(1)可知椭圆C的右焦点为(6,0).当直线/的斜率不存在时，I EG | = 1,不符合
题意..............................................................................................................................................5分
当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为—e),EG|,“),GCz2，W).
y=k. Cz—73)»
由 1 r2 可得(4/ + 1)/—8 点/1r + 12〃- 4=0,
Iff
, 8点/ 12/一4 ~八
币+石=诉1由必=砺工，.......................................................................................7分
12 公一4: 5
I EG | =，1+V ・+以)2—4支血=，］+/ ・
4〃 + 1 =2
解得4 = 士:. ............................................................................................................................ 9分
乙
所以直线/的方程为1±2、一通=0. .................................... 11分
(3)证明：设NCro，Vo)CzoWO且八K±l),则直线BN的斜率3=也扫.
2。
因为点M在以AB为直径的圆上，所以直线AM与直线BM垂直.
1
Vo —
由题意得直线AM的斜率比. 13分
10
所以直线BM的斜率防=一十 = 一任1,所以£ = 一目 #0 jcl …15分
»o + l 1-yl
因为点N在椭圆C上,所以学+江=1,
【高三数学•参考答案 第4页(共5页)】包=4=4（1—3>o）
=4,为定值. 17分
放心一中一 ］一炉
19.解:⑴因为人定）是偶函数，所以/（一无）=/（£）,
即 3r2 — 8sin（-1+中）=312—8sin（z+w）, .............................. 2 分
解得$o=±y. ...................................................... 4分
乙
（2）当 8=0 时,/（1） =3n" —8sin 尤，/（0） = 0,/'（］） = 6比一8cos ............ 5 分
令 h（x） =ff（x） = 6x—8cos x,则，（£）=6+8sin x.
当/时,/员）>3/—8>0,则/Cr）在［n,+8）上无零点.........................................6分
当0〈龙〈式时,//（才）= 6+8sin 1>0,/'（大）单调递增，
又/'（0） = — 8<0,/'（n）=671+8>0,
所以存在为G（0,n）,使得,（为）=0. .................................... 7分
当1G （0,小）时j'Cz）V0,/Cr）单调递减，当2£（不，用时,/'（£）>0 JCr）单调递增，
............................................................... 8分
又"0）=0,"为）V0,/（n）=3*>0,所以八比）在（小，外上存在一个零点. ...........9分
综上,/（］）在［0,+8）上有两个零点. ..............................................................................10分
27r 4 tt2
⑶当£）皆时,/（£）>作一8>0. .................................... 11分
M 0
当0<尤〈芋,（一秘,。时，若sin（a:+夕）&0,则f （«r））0. ................ 12分
只要考虑 sin（i+9）>0,此时令 g（i）=/'（1） = 6支-8cos（£+a），
则 8'（1）=6+8$。（比+8）>0,/'（2，）单调递增"'（0） = —88$ ^<0,/，（y） =3n+8sin
0,所以存在 loG（0/），使得/'（10）=610—8cosGco+夕）=0. ............ 13 分 乙 当2V（0,1。）时/⑴ VOJCz）单调递减;当3弋（10与时/CrAOJCr）单调递增. ............................................................. 14分 所以 f （力）（］（）） = 3式一8sin（io+e）=34一8J］一卷力》0,解得x0，........... ............................................................. 15分 此时cos（£o+p）= "|■］（））号,所以£（）+少•，从而少•—204/一 综上〜的取值范围为（一方,£一竽］. ..........................................................................17分 ［高三数学•参考答案第5页（共5页）】
