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高三第五次月考数学参考答案
【详解】由题图得 ， ，又 ，所以
一、单选题(共8小题，满分40分，每小题5分）
1 2 3 4 5 6 7 8 ，选项A正确；
C A C A A B A D
即 ，由 ，得 ，
7．【详解】设直线 与圆 相切于点 ，则 ，
取线段 的中点 ，连接 ， ，
由于 ，则 ， 解得 ， ，
由于 是 的中点，所以 ，则 ，即有
又 ，所以 ，故 ，
，
由双曲线的定义可得 ，即 ，即 ，所以 因为 ，
，
所以函数 的图象关于点 对称，选项B正确；
化简得 ，即 ，得到 ，
令 ， ，解得 ， ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，
故函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
8．【详解】由 可知 为球的直径，
设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以 ，
则函数 在区间 上先单调递减再单调递增，选项C错误；
因为 ∠CAB=30°，所以BC=BD=2，AD=AC=2√3
取CD的中点M连接AM，BM，则AM⏊CD，BM⏊CD，AM∩BM=M，所以CD⏊平面ABM 因为 ， ，
B
又CD=2√2，可得AM=√AC2−CM 2=√10，BM=√2，
由 ，得 ，
√5 2√5
可得cos∠AMB=− ，所以sin∠AMB= ，
5 5
若函数 在区间 上有且仅有两个零点和两个极值点，
1 A D
所以S = ∙AM∙BM∙sin∠AMB=2
∆AMB 2
M 则 ，解得 ，选项正确．
1 4√2
所以V
D−ABC
=
3
∙S
∆AMB
∙CD=
3
C
11．【答案】AC
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 【详解】由题意可知， ，， ，
9 10 11
， ， ，
BCD ABD AC
10．【答案】ABD
所以数列 的周期为4， ，故A正确；
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，且数列 的周期为4，所以 ，故B错误；
【详解】（1）在∆ABC中，因为 ，
当 时， ，在 上单调递增，
所以 . .....................................................................................2分
当 时， ，在 上单调递减，
结合正弦定理得， ，即 . .....................4 分
当 时， ，在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
当 时， ，为常数列，
所以 .
所以存在 时， 在 上单调递增，故C正确；
可得 ； ..........................................................................................................6 分
由C选项可知，当 时， ，值域为 ，不满
（2）在∆ABC中，因为 ，则 ， ..............7分
足 ，故D错误.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 又因为 ，则 . ...................................9分
12．【答案】0.5
所以
13．【答案】
14．【答案】
【详解】依题意， 对于 恒成立，且能取得等号，
即 对于 恒成立，且能取得等号，
函数 在 上单调递增，不等式为 ，
则 ，即 ， 因此在 上恒成立，且能取得等号，
. .............................................................................13分
设 ，于是 是函数 在 上的最小值，
16．（15分）
【详解】（1）（法一）
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因为M为DD 的中点，AB=1，AA =2
1 1
函数 在 上递减，在 上递增，且 ， 所以MA=MC=√2，MB =√3，AB =CB =√5
1 1 1
所以 . MA2+MB 2=5=AB 2，所以MA⟂MB ，
1 1 1
四、解答题(共5小题，满分77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 同理，MC2+MB 2=5=CB 2，所以MC⟂MB
1 1 1
15．(13分） 又MA∩MC=M，所以MB⊥平面AMC， O
1
又MB⊂平面B MC，所以平面B MC⊥平面AMC........................................................................8分
1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司（2）取AC的中点O，连结OM，OB ，由（1）知MO⊥AC，B O⊥AC，
1 1
设平面 与平面 的夹角为 ，则
所以∠MOB 是二面角M-AC-B 的平面角，
1 1
√2 √6 3√2 ，......................14分
由已知可得OC= ，由（1）可得OM=√CM2−OC2= ，OB =√CB 2−OC2= ，
2 2 1 1 2
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
3 9
+ −3
OM2+OB 2−MB 2
2 2 √3
又MB =√3，所以cos∠MOB = 1 1 = = ， . ....................................................................15分
1 1 2∙OM∙OB √6 3√2 3
1 2∙ ∙∙ 17．（15分）
2 2
【详解】（1）由题设 ，则 ， ....................................2
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .................................................................15分
分
（法二）
（1）如图建立空间直角坐标系， 所以 ， ，故切线方程为 ， ......................................5分
则A(1,0,0)， ， ， ，
整理得 . ............................................................................6分
所以 ， ， ，................................................................2分
（2）由题设 ，且 ，......7
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；...................4分 分
当 时， ，故 时f′(x)>0， 时f′(x)<0，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；.............................6分
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；..............................................................9分
因为 ，即 ，
当 时， 时f′(x)>0， 或 时f′(x)<0，
所以平面 平面 ；...........................................................................................................8分
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；..................................... ......11分
当 时， 恒成立，即 在 上单调递减；................................................13分
当 时， 时f′(x)>0， 或 时f′(x)<0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增； ........................................15分
（2）设平面 的法向量为 ，则 ，取 18．（17分）
【详解】（1）因为 ，
，.............10分
所以数列 所以 为公差的等差数列，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
故
，
由于 ，故当 时， ，
因为 ，
即求点 到点 距离的最小值为 . ..............................................................4分
所以 ，
（2）①当直线 垂直于 轴时，设直线 代入椭圆 得
所以 ，解得 ，
，
所以 ； ..................................................................................................5分
（2）由（1）得 ，则 ，
故 面积 ，
则 ，
当 时， 面积最大值为 ； ...........................................................................7
，
分
两式相减得
②当直线 不垂直于 轴时，设直线 ，
， 由 得 ，
所以 ；........................................................................................................12分
弦长 .........................................................9分
（3） ，
即 ，
又直线 即 ，原点 到直线 的距离 ， .................................................10
即 ，
分
即 ，
故 面积
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 . ...........................................................................17分
（当且仅当 取等号）
19．（17分）
由①②得 面积最大值为 . ...............................................................13分
【详解】（1）依题意可得 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司.（3）当 ，直线 斜率 时，直线 ，
由（2）得 两根为 ，
则 ，
设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
则
，
即 ,
故直线 为 的内角平分线，故 的内心在定直线 上. .............................17分
试卷第5页，共3页
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