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2024-2025 学年度第一学期高二数学 10 月月考
（2024.10）
班级______姓名______学号______
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项.）
1. 已知点 ，则点 关于 轴的对称点的坐标为（ ）
.
A B. C. D.
2. 已知向量 ， ，且 ，那么 （ ）
A. B. 6 C. 9 D. 18
3. 如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若 ， ， ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知正四棱锥 ，底面边长是 ，体积是 ，那么这个四棱锥 的侧棱长为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在三棱锥 中， ，且 ，E，F分别是棱 ， 的中点，则EF和
AC所成的角等于A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 已知 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 则 ；
②若 则 ；
③若 则 ；
④若 是异面直线， 则 ．其中真命题是（ ）
A. ①和② B. ①和③ C. ③和④ D. ①和④
7. 在正方体 中，直线 是底面 所在平面内的一条动直线，记直线 与直线 所
成的角为 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
在
8. 如图， 平行六面体 中， ，
，则 （ ）A. 1 B. C. 9 D. 3
9. 如图，在长方体 中， 为棱 的中点， 为四边形
内（含边界）的一个动点.且 ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A. 5 B. C. D.
10. 如图，在直三棱柱 中， ，点 在棱 上，点
在棱 上，下列结论中不正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积的最大值为B. 点 到平面 的距离为
C. 点 到直线 的距离的最小值为
D. 的最小值为
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11. 已知向量 ， ，若 ，则 ______.
12. 已知正方体 的棱长为 ，则点 到直线 的距离为______.
13. 如图， 的二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都
垂直于 已知 ， ， ，则 的长为__________
14. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑
中， 平面 ABC， ．M为PC 的中点，则点 P到平面 MAB 的距离为
______．
15. 如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列结论正确的是________．①直线 平面
的
②三棱锥 体积为定值
③异面直线AP与 所成角的取值范围是
④直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程.）
的
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 分别为 ， 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， 平面 ，求证： 平面 .
17. 如图，在直三棱柱 中， ， 、 分别为 、 的中点，
.（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 为等腰直角三角形，且
，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 .
（1）求证： ；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 与平面 所成锐二面
角的大小.
条件①： ；
条件②：平面 平面 ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.19. 在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，线段 与
交于 点（如图1）.将△ 沿 折起到△ 位置，使得 （如图2）.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
