文档内容
吉林省八校联考 2024-2025 学年高二上学期 1 月期末考试数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线斜率的定义直接得出结果.
【详解】由 得 ，
故倾斜角满足为 ，
故 .
故选：D
2. 如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点.若
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出 即可.
【详解】由题意可得：
= .
故选：A.3. 如图，在正方体 中，M，N分别为 的中点，异面直线MN与
所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连结 ， ，根据题中条件，得到异面直线 与 所成角即为直线
与 所成角，进而可求出结果.
【详解】
连结 ， ，因为在正方体 中，M，N分别为 的中点，
所以 ，
因此，异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角，即 ，显然
为 .
故选：B
4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎
《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一“.在某种玩法中，用 表
示解下 个圆环所需的移动最少次数，若 .且
，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）A. 13 B. 16 C. 31 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知的递推关系求 ，从而得到正确答案.
【详解】 ， ，
， ， ， ，
，
所以解下6个环所需的最少移动次数为 .
故选：C.
5. 已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，则以椭圆 的短轴
端点为顶点，且与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 的值，可得出双曲线 的方程，根据题意，设所求双曲线的方程为
，根据所求双曲线与双曲线 有相同的渐近线可得出 的值，即可得出所求双
曲线的方程.
【详解】由题意 且 ，则 ，则双曲线 的方程为 .
以椭圆 的短轴端点为顶点的双曲线可设为 ，
若与双曲线 具有相同渐近线，则 ，即 .
故所求双曲线的方程为 ，即 .
故选：B.6. 平行直线 与 之间的距离为 ，则 ， 的
可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直线 化为 ，再由距离公式得到方程，从而得到 ，
结合选项判断即可.
【详解】将直线 化为 ，显然 ，
依题意可得 ，即 ，只有 满足题意.
故选：A.
7. 如图，在直三棱柱 中， 为腰长为 的等腰直角三角形，且
，侧面 为正方形， 为平面 内一动点，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设 关于平面 的对称点为 ，利用对称点 、
到平面 距离相等，得出 关于平面 的对称点为 ，利用对称点求出最
短路径即可
【详解】由题意，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
设 关于平面 的对称点为 ，则 ，
设平面 的法向量 ，
则 即
令 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以 与 到平面 的距离 ，
即 ①，又 ，所以 ②，
所以由①②得 ，又由 可得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时取等号，所以 的最小值为 ．
故选：A．
8. 已知点 在以 为左、右焦点的椭圆 内，延长 与椭
圆交于点 ，满足 ，若 ，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设 ， ，由椭圆的定义和勾股定理计算可得
，结合二次函数的图象与性质确定 的单调性，进而 ，结合离心率的定义计算即可求解.
【详解】如下图所示：
由题意可知， ，设 ，则 ，
由椭圆定义可得 ，
在Rt 中，由勾股定理可得 ，
即 ，即 ，
因为点 在椭圆 内，则 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，是一条开口向上的抛物线，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，
若方程 在 内有实根，则 ，
得 ，所以 ，
因 点 在椭圆内，且 ，则 ，即 ，
所以 ，因此 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据椭圆的定义和勾股定理推出 （
），利用二次函数的图象与性质求得 ，结合离心率的定义求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 上一点 ， 、 分别为左、右焦点， ，
的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为
D. 若 为钝角三角形，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦定理、椭圆定义结合三角形面积公式推导出 ，可判断A选项；设
，可得出 ，结合 ，求出 的值，判断点 的位置，可判断
B选项；利用椭圆的参数方程结合辅助角公式可判断C选项；对 各内角为钝角进行分类讨
论，求出 的范围，可求得 的范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，在椭圆 中， ， ，则 ，
由椭圆的定义可得 ， ，且 、 ，
设 ， ，且 ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
所以， ，
所以， ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，A对；
对于B选项，设 ，则 ，且 ，解得，
此时点 为椭圆短轴的顶点，故满足条件的点 只有两个，B错；
对于C选项，设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，
则椭圆 内接矩形周长为 ，
其中 为锐角，且 ，
由 得 ，
当 时， ，此时椭圆 的内接矩形周长取最大值为 ，故C
正确；
对于D选项，若 为钝角， ， ，
则
，解得 ，所以， ，
此时， ；
若 为钝角，且 ， ，
则 ，可得 ，
又因为 ，所以， ，则 ，可得
，
此时， ；
当 为钝角时，同理可知 .
因此， 的取值范围是 ，D错.故选：AC.
10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱
长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 向量 与 的夹角是 D. 与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，利用向量法求解判断；B选项，由 判断；C选项，利用向量夹角公式
判断；D选项，利用向量夹角公式判断.
【详解】因为以顶点 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，
所以 ，
，
则 ，所以A正确；
，则 ，
故 ，所以B正确；
显然 为等边三角形，则 .
因为 ，且向量 与 的夹角是 ，所以 与 的夹角也是，所以C不正确；
因为 ，
所以
，
所以 ，所以D不正确.
故选：AB
11. 在数列 中， ，则以下结论正确的为（
）
A. 数列 为等差数列
B.
C. 当 取最大值时， 的值为51
D. 当数列 的前 项和取得最大值时， 的值为49或51
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差中项判断A；计算判断B；确定数列单调性推理判断CD.
【详解】对于A，由 ，得 ，
两式联立得 ，即 ，数列 为等差数列，A正确；
对于B，令 ，得 ，B错误；
对于C，由等差数列的性质知 ，即 ，又 ，
公差 ，则 ，数列 的前51项为正，
从第52项开始为负，当 取最大值时，n的值为51，C正确；
对于D，由数列 的前51项为正，从第52项开始为负，又 ，
得 ，
则数列 前49项和最大，又 ，即数列 前51项和最大，当 时，
，
因此当 或51时， 的前n项和取得最大值，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆 和圆 的公切线条数为
__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此
得到公切线条数.
【详解】∵圆 ，圆 ，
∴
∴圆心距 ，
而两圆半径之和 ，
∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条.
故答案为：4.
13. 已知 ，直线 ，且 ，则
的最小值为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由题意，根据直线垂直，先得到 ，再由 ，展开后利
用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为8.
故答案为：8
14. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的
古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线
的方程为 ，第n根弦（ ，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l： 交于点 和 ，则 ______.
（参考数据：取 .）
【答案】914
【解析】
【分析】根据题意可得 ，进而利用错位相减法运算求解.
【详解】由题意可知： ，
则 ，
可得 ，
两式相减可得：
，
所以 .
故答案为：914.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 的直角顶点为A在y轴上，直角边AB所在直线的方程为 ，点
，满足 ．
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求 外接圆的方程；
（3）求BC边所在直线的方程；
（4）若动圆P过点 ，且与 的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）（3）
（4） ．
【解析】
【分析】（1）由题意得到点 坐标，再由两直线垂直得到斜率关系即可；
（2）由 得到外接圆圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得标准方程；
（3）直曲联立，解出 点坐标，求出方程即可；
（4）由双曲线的定义和性质求出即可；
【小问1详解】
由AB边所在直线的方程为 且直角 的直角顶点为A在y轴上，
可得 ，直线AC的斜率为 ，AC边所在直线的方程为 ；
【小问2详解】
点A的坐标为 ，且 ，则 为 斜边上的中点，
即为 外接圆的圆心，则 ，
从而 外接圆的方程为 ；
小问3详解】
外接圆的方程为 与直角边AB所在直线 相交，
即 ，消去 可得 ，即 ，
解得 或 ，
将 代入直线方程可得 ，
BC边所在直线即为BM，方程为 ．
【小问4详解】
动圆P过点N， 是该圆的半径，又动圆P与圆M外切，
则 ，即 ，
故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为 的双曲线的左支，
实半轴长 ，半焦距 ，∴虚半轴长 ，
从而动圆P的圆心的轨迹方程为 ．
16. 已知 为抛物线 的焦点， 为坐标原点，过焦点 作一条直线交 于A、B两点，点 在 的准线 上，且直线MF的斜率为 的
面积为1.
（1）求抛物线 的方程；
（2）试问在 上是否存在定点 ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）
（2）存 定点 或 .
【解析】
【分析】（1）先由题中条件确定点 纵坐标为 ，用 表示出 的面积，
进而可求出 ，得出抛物线方程；
（2）先设直线 的方程为 ，点 ，点 ，点 ，根据
，得出 ，联立 于抛物线方程，根据韦
达定理，代入前面所得关系式，化简
求出 即可.
【详解】（1）因为点 在 的准线 上，且直线MF的斜率为 ，所以易知点
纵坐标为 ，
则 所以 ，解得 ，
即抛物线 的方程为 .
（2）假设存在定点 ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方；
由题意，设直线 的方程为 ，设点 ，点 ，点
因为 ，即 ，
可得 ，
整理得 ，
联立直线 与抛物线 ① ，可得 ，
则 .
代入 式可得 ，即 ，即 ，
解得① 或 ，即存在定点 或 ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方.
【点睛】思路点睛：
求解抛物线中直线过定点的问题时，通常需要先设直线方程，联立直线与抛物线方程消去 (或
)，结合韦达定理写出两根之和以及两根之积，再根据题中所给条件列出等量关系，结合韦达定理的结
果，化简整理，即可求解.
17. 在三棱锥 ，底面 是边长为4的正三角形，平面 平面 ，
且 ．
（1）若 ，求证：平面 平面 ；
（2）若 底面 ，垂足为O， ，求平面 与平面 夹角的余
弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质可得 、
、 ，建立如图空间直角坐标系，根据向量法分别求出平面 PAB和平面PBC的法向量
，结合 即可证明；
（2）由（1），根据向量法分别求出平面PAB和平面PBC的法向量 ，结合数量积的坐标表示计
算即可求解.
【小问1详解】
取AC的中点H，则 ，连接HP、HB，由 ，得 ，
又平面PAC 平面ABC=AC， 平面PAC，所以 平面ABC，
由 平面ABC，得 ， ，
以H为原点， 方向为x轴， 方向为y轴， 方向为z轴，建立空间坐标系，
由题意可得 ，
则 ，
有 ，
设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ，有 ，
即 ，故平面 平面 ．
【小问2详解】
由（1）知，若 ，则 ， ， ， ，
有 ， ， ， ，
设平面 、平面 一个法向量分别为 ，
则 ，
令 ，得 ，
所以 ， ，
设平面 与平面 夹角为 ，得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
18. 已知等差数列 满足 ，等比数列 满足
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求证： ，其中 .
【答案】（1） ，
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）利用定义法即可求出等差数列和等比数列 通项公式；
（2）通过（1）求出的 的通项公式，表达数列 ，然后利用公式法和放缩法，分类
讨论 为奇数或偶数时前 项的和，进而证明不等式.
小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 ,得 解得：
设等比数列 的公比为 ，
由 得 ，
由 ， ，解得
【小问2详解】
由题意及（1）得，
又∵ ，
∴
设 ，
当 为奇数， 时，
在 中，在 中，
由 ，得
解得：
当 为偶数， 时，
同理可得，
综上， .
19. 已知椭圆 ，左顶点分别为 ，上顶点为 ，左右焦点分别为
为椭圆上一点， 最大值为 的面积为 .
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线过 与椭圆 交与M，N两点（ 在 上方），且 ，
若 ，求直线斜率的值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据 最大值和 的面积，求出 的值，即可求出椭圆方程.
（2）分类讨论直线斜率是否存在时的两种情况，让直线的解析式与椭圆方程联立，消去 ，得到
的表达式，代入韦达定理，即可得到直线斜率的取值范围.
【小问1详解】
由题意在椭圆 中，
最大值为 的面积为 .
，解得： ，
椭圆方程为： .
【小问2详解】
由题意及（1）得在椭圆 中， ，
直线过 与椭圆 交与M，N两点（ 在 上方），且 ，
当直线斜率不存在时 ，显然不成立，
当直线斜率存在时设为 ，
由 ，得 ，
联立 消去 得 ；
则 ，且 ，可知 ，代入 中得： ，
因为当 时， 不成立，
则 ， ，
在 上方， .
