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四平市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期初验收考试
数学试题
一、单选题
1．已知直线 ： 与 ： 平行，且 过点 ，则 （ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
2．若一组数据 的方差为0.4，则另一组数据 的方差为（ ）
A．1.6 B．0.8 C．0.4 D．0.1
3．在 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中 的系数是（ ）
A． B． C． D．7
4．已知点 是圆 上的动点，点 ，则 的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．当双曲线 的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为
A． B． C． D．
6．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程 ，变量 增加1个单位时， 平均增加5个单位
③线性回归方程 必过
④设具有相关关系的两个变量 的相关系数为 ，那么 越接近于0， 之间的线性相关程度越高；
⑤在一个 列联表中，由计算得 的值，那么 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
7．为迎接第 届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道
速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排 人，则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ， ，左、右焦点分别是 ， ，在线段
上有且只有一个点 满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019
年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在
2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（ ）
A．2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少
B．2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上
C．2017年末我国农村贫困人口有3046万人
D．2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平
10．某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依
次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结
论中正确的是（ ）
A． B．C． D．
11．已知点P是抛物线 上一点，C的准线与x轴交于Q点， 是以点P为圆心且过点
Q的圆，则 与C的交点个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
12．过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l：2x－y－2＝0与l：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平
1 2
分，则直线l的方程为 ．
13．已知函数 有2个不同的零点，则k的取值范围是 ．
14．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.
无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次
投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第 次投篮的人是甲的概率是 .
四、解答题
15．手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人
一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各
随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据：
积极 懈怠
型 型
男 20 30
女 10 40
(1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
(2)以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积
极型”的人数为 ，求随机变量 的数学期望.
附： ，其中 .
0.05 0.02 0.01
0 5 0
3.84 5.02 6.631 4 5
16．已知双曲线E： 与 有相同的渐近线，且过点 .
(1)求E的方程；
(2)已知O为坐标原点，直线 与E交于P，Q两点，且 ，求m的值.
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥
平面ABCD，CF=1.
(1)求证:BC⊥平面ACFE.
(2)在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=
，若不存在，请说明理由;若存在，求出FM的长度.
18．已知抛物线 ： ，点 为抛物线 外一点（如图），过点 作 的两条切线，切点分别
为 ， .
(1)求证：直线 的方程为 ；
(2)若 在直线 上，以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求该圆的方程.
19．2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进
行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考
项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑
（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测
试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天
进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次
都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练.
(1)若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；
(2)若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不
同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为 ，求 的分布列及数学期望.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A B C A A ABC CD
题号 11
答案 ACD
1．D
利用两直线平行，斜率相等来求解即可.
【详解】由直线 ： 可得： ，可知直线 的斜率为： ，
再由直线 ： 可得： ，可知直线 的斜率为： ，
由两直线平行，斜率相等可知： ，即 ，
再由直线 过点 可得， ，即 ，检验符合，
所以 ，
故选：D.
2．A
根据平均值与方差的计算公式，可得答案.
【详解】数据 的平均数 ，
数据 的方差
数据 的平均数 ，
数据 的方差
，
所以数据 的方差为 .
故选：A.
3．C由题意利用二项式系数的性质，求得 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得 的系数．
【详解】 在 的展开式中，只有第5项的二项式系数 最大，
它的展开式共计有9项， ，
故二项展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，可得在 的展开式中 的系数为 ，
故选：C．
4．A
设出线段 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 的坐标，根据 在圆上，得到轨迹方程．
【详解】设线段 中点 ，则 ．
在圆 上运动，
，即 ．
故选：A．
5．B
【详解】由题意可得6−2m>0，即有m<3，
由c2=m2+8+6−2m=(m−1)2+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为 ，
即有渐近线方程为 .
故选：B.
6．C
【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，
故①正确；一个回归方程 ，变量 增加1个单位时， 平均减少5个单位，故②不正确；线性回
归方程 必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r， 越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值 来说， 越大，“x与y有关
系”的可信程度越大，故⑤正确.
故选：C
7．A
【详解】先考虑全部的情况，即将 名学生分为三组，每组的人数分别为 、 、 或 、 、 ，
所有将 名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排 人，
不同的排法种数为 种；
接下来考虑学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者，则做冰球志愿者的人数可为 或 或 ，
若做冰球志愿者的人数为 且为甲，共有 种；
若做冰球志愿者的人数为 且包含甲，共有 种；
若做冰球志愿者的人数为 且包含甲，共有 种.
因此，所求概率为 .
故选：A.
8．A
【详解】解：依题意，作图如下
， ， ， ，
直线 的方程为： ，整理得： ，
设直线 上的点 ，则 ，
， ，
，令 ，
则 ，
由 得： ，于是 ，
，
整理得： ，又 ， ，
，
，又椭圆的离心率 ，
，
椭圆的离心率为 .
故选：A.
9．ABC
根据折线统计图逐一判断可得选项.
【详解】解：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项
A正确；
2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为 (万人)，又，故选项B正确；
2017年末我国农村贫困人口为 (万人)，故选项C正确；
由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误.
故选：ABC.
10．CD
根据古典概型，对立事件，条件概率的计算公式逐一计算每个选项进行判断.
【详解】由题意可得， ，故A错误，
，故B错误，
， ，
，故C正确，
，故D正确．
故选：CD
11．ACD
根据题意知 与抛物线必有两个交点，取抛物线上高于点N或低于点M的点，证明该点到点P的距离大
于PN，即证明了不存在其他点到点P的距离等于 的半径即可.
【详解】
如图， 与抛物线交于M、N两点且将抛物线分成圆内和圆外共三部分：显然圆内部分每一点到圆心距离均小于 ，故圆内部分不存在满足条件的点；
设点 坐标为 ， ， ， 为抛物线上高于 点的点且 ，则
有
因为 且 ，
所以 ，即在抛物线上高于N点的部分不存在到P点的距离等于 的点；
同理，圆外部分且在点M下方的抛物线上亦不存在到P点的距离等于 的点；
即 与抛物线的交点只有两个.
故选:ACD
12．8x－y－24＝0
【解析】设出 与 两点的坐标，因为 为线段 的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关
系式，然后把 的坐标代入直线 ，把 的坐标代入直线 ，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系
式联立即可求出 的坐标，然后由 和 的坐标，利用两点式即可写出直线 的方程.
【详解】设直线 夹在直线 之间的线段是 ( 在 上， 在 上)，
的坐标分别是 .
因为 被点 平分，所以
，
于是 .
由于 在 上， 在 上，所以 ，解得 ，即 的坐标是 .
直线 的方程是 ，
即 .
所以直线 的方程是 .
13．
将问题转化为关于 的方程 在区间 内有两个不等的实根，于是画出曲线
与直线 的图象，结合图象求解即可
【详解】因为函数 有2个不同的零点，
所以关于 的方程 在区间 内有两个不等的实根，
即曲线 （圆 的上半部分）与经过定点 的直线 有两个不同的交点，
如图
过 作圆 的切线 ，则点 到切线 的距离 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ，得 ，
即k的取值范围是 ，
故答案为：
14．
记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，设 ，利用全概率公式
求得 ，再构造等比数列即可得答案.
【详解】记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
设 ，则 ，
则 ，
于是 ， ，
由 ，得 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
所以第 次投篮的人是甲的概率为 .
故答案为：
15．(1)有；
(2) .
【详解】（1） 列联表如下：积极型 懈怠型 合计
男 20 30 50
女 10 40 50
合计 30 70 100
则 的观测值为 ，
所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
（2）由表格中的数据知，从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为 ，
随机变量 的可能值为 ， ，
所以随机变量 的数学期望 .
16．(1)
(2) 或
（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示
公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，设E的方程为 ，又E过点 ，
所以 ，解得 ，
所以E的方程为 .
（2）设 ， ，由 得 ，因为 ，
所以 ， ，
所以
，
所以 ，
解得 或 .
17．(1)证明见解析
(2)存在，
（1）将底面梯形单独分析得到 ，再根据面面垂直的性质定理即可证明；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，计算出相关法向量，利用二面角公式得到方程，解出 的
长度.
【详解】（1）证明:如图所示的等腰梯形 中,经过点 , 分别作 , ,垂足为 , ,则
为矩形, .在 中, ,则 ,
同理可得 .
在 中,,
又 平面 平面 ,平面 平面 平面 , 平面 .
（2）如图所示,建立空间直角坐标系.
设 ,
,
设平面 的法向量 ,
则 ，令 ，
则 ，取平面 的法向量 ，
由题意假设: , .
解得 .
因此在线段 上存在点 ,使得平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ,且满足， .
18．(1)证明见解析
(2) 或
（1）先利用导数几何意义分别求出在 ， 两点处的切线方程，再分别代入点 即可发现A，B两
点都在直线 上，进而得到直线 的方程；
（2）由（1）得直线 的方程，与抛物线联立，求出线段 的中点为 ，再根据圆的性质所得
建立方程进行研究即可.
【详解】（1）设 ， ，由 得 ，
所以在 处的切线方程为 ，
同理在 处的切线方程为 ，
两条切线都过 ，所以 ， ，
显然A，B两点都在直线 上，
所以直线 的方程为 ；
（2）若 在直线 上，则直线 的方程为 ，
即直线 过定点 ，不妨设直线 的方程 ，
由 ，可得 ， ，
于是 ， ，设 为线段 的中点，则 ，
由于 ，而 ， 与向量 平行，
∴ ，解得 或 ，
当 时， ，所求圆的方程为 ；
当 时， ，所求圆的方程为 .
19．(1)
(2)分布列见解析，
（1）设第一次训练的是“排球对墙垫球”的概率为 ，第一次训练的不是“排球对墙垫球”的概率为 ，
则所求概率为 ；
（2）由题可得 的所有可能取值为1，2.
说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，
说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，据此可得分布列及期望.
【详解】（1）第一次训练的是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为
，
第一次训练的不是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为
，
所以第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为 .
（2）由题意知“1000米跑”最多训练2次，所以 的所有可能取值为1，2.
① 说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，
从除“1000米跑”外的3项中选一项训练2次有 种方法，不妨设训练了2次“排球对墙垫球”，可分为以下两类：
第一类，第二次训练的是“排球对墙垫球”，则第四次或第五次也训练了“排球对墙垫球”，有 种
方法；
第二类，第三次训练的是“排球对墙垫球”，则第五次也训练了“排球对墙垫球”，有 种方法，因此
共有 种方法.
② 说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，故有
种方法.
所以 ， .
所以 的分布列为：
1 2
所以 .
