宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学Word版含解析_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年11月试卷_1121宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试

宁夏回族自治区银川一中 2024-2025 学年高二上学期期中考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 椭圆 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线 的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则平面 和平面 的位置关系 是（ ）． A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 4. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，实轴的长度为 ，则双 曲线 的标准方程为（ ） A. B. . C D. 5. 已知圆 经过点 ，则圆在点P处 切的线方程为（ ） A. B. C. D.6. 已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F,F ,焦距为2c,若直线y= (x+c)与椭圆交于M点,且 1 2 满足∠MF F=2∠MF F,则椭圆的离心率是 1 2 2 1 A. B. -1 C. D. 7. 已知椭圆 ，过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆 于 、 两点， 设的中点 为 ，则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出， 被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点 、 的椭 圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又回到了点 ，历时 秒；若将 装置中的 去掉，如图②，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时 秒；若 ， 则 与 的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为 的中点，则（ ） A. B. 直线 平面 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 点 到平面 的距离是 10. 已知圆C： ，直线l： （ ），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当 时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆 恰有两条公切线 11. 已知椭圆 左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 是椭圆 的 上异于 的一点，且 （ 为坐标原点），记 的斜率分别为 ，设 为 的内心，记 的面积分别为 ， ，则（ ） A. B. 的离心率为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于3，那么点 与两个焦点所构成的三角形的周 长等于________________. 的 13. 已知过定点 动圆 与定圆 相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ______. 14. 设椭圆 的两焦点为 ， .若椭圆上存在点P，使 ，则椭圆的 离心率e的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 关于直线 对称，且圆心在 轴上. （1）求 的标准方程； （2）已知动点 在直线 上，过点 引 的切线MA，求 的最小值. 16. 已知椭圆 的长轴长为 ，离心率 ，过右焦点 的直线 交椭圆于 、 两点． （ ）求椭圆的方程． （ ）当直线 的斜率为 时，求 的面积． 17. 如图，四棱锥 的底面ABCD是平行四边形， , ，点 是线段BC（包括端点）上的动点.（1）若 ，求证：平面 平面PED； （2）平面PED和平面ABCD的夹角为 ，直线BC与平面PED所成角为 ，求 的值. 18. 已知双曲线 的方程为 ，实轴长和离心率均为2. 的 （1）求双曲线 标准方程及其渐近线方程； （2）过 且倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，求 的值（ 为坐标原点）. 19. 设椭圆 的右顶点为 ，离心率为 ，且以坐标原点为圆心，椭圆 的短半 轴长为半径的圆与直线 相切． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆 相交于点 异于点 ，直线 与 轴相交于点 ，若 的面积为 ，求直线 的方程； （3） 是 轴正半轴上的一点，过椭圆 的右焦点 和点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 的取值范围． 宁夏回族自治区银川一中 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试 题本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 椭圆 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆焦点在 轴上,再根据基本量之间的关系求解即可. 【详解】由题, ,又焦点在 轴上,故焦点坐标为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量与基本概念,属于基础题. 2. 直线 的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量. 【详解】在直线 上取点 、 ， 故直线 的一个方向向量为 . 故选：A. 3. 若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则平面 和平面 的位置关系 是（ ）． A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两平面法向量的垂直关系可判断两平面的位置关系.【详解】∵平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 平面 平面 ． 故选：C 4. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，实轴的长度为 ，则双 曲线 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可. 【详解】因为双曲线 实轴的长度为 ， 所以 ，因为双曲线的一条渐近线方程是 ， 所以 ，解得 ，故双曲线 的标准方程为 ，故A正确. 故选：A 5. 已知圆 经过点 ，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先求 的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心 与点 连线的斜率 ，最后求圆在点 处的切 线方程. 【详解】因为圆 经过点 ， 将点 代入圆的方程可得： .即 ，所以 ， 则圆的方程为 . 对于圆 ，其圆心坐标为 ，所以此圆的圆心 .： 根据斜率公式 ，这里 ， ，则 . 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为 和 ，则 . 已知 ，所以切线的斜率 . 又因为切线过点 ，根据点斜式方程 （这里 ）， 可得切线方程为 .整理得 . 故选：A. 6. 已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别是F,F ,焦距为2c,若直线y= (x+c)与椭圆交于M点,且 1 2 满足∠MF F=2∠MF F,则椭圆的离心率是 1 2 2 1 A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意知，直线y=√3(x+c)经过椭圆的左焦点F （-c，0），且倾斜角为60°，从而知 1 ∠MF F =30°，设|MF |=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率． 2 1 1【详解】 ∵椭圆的方程为 ，作图如右图： ∵椭圆的焦距为2c， ∴直线 y=√3(x+c)经过椭圆的左焦点F （-c，0），又直线y=√3(x+c)与椭圆交于M点， 1 ∴倾斜角∠MF F =60°，又∠MF F =2∠MF F ， 1 2 1 2 2 1 ∴∠MF F =30°， 2 1 ∴∠F MF =90°． 1 2 设|MF |=x，则 ，|F F |=2c=2x，故x=c． 1 1 2 ∴ ， 又|MF |+|MF |=2a， 1 2 ∴2a=（ +1）c， ∴该椭圆的离心率 故选B． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直 线y=√3(x+c)经过椭圆的左焦点F （-c，0）是关键，属于中档题． 1 7. 已知椭圆 ，过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆 于 、 两点， 设的中点 为 ，则直线 的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程可得焦点 的坐标,进而得直线方程.联立椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公 式可得中点 的坐标,即可得直线 的斜率. 【详解】椭圆的标准方程为 所以半焦距 ,即右焦点坐标为 过右焦点 的直线倾斜角为 ,即斜率 所以直线方程为 联立直线方程与椭圆方程 ,化简可得 设直线与椭圆两个交点 、 则由韦达定理可得 则 由中点坐标公式可得 中点 则直线 的斜率为 故选:B 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,中点弦问题的解法,属于基础题. 8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出， 被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点 、 的椭 圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与 反射，又回到了点 ，历时 秒；若将装置中的 去掉，如图②，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了点 ，历时 秒；若 ， 则 与 的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 ，设椭圆 的长轴长为 ，双曲线 的实轴长为 ，设光速为 ，推导出 ，利用椭圆和双曲线的定义可得出 ，由此可计算得出 与 的离心率之比. 【详解】设 ，设椭圆 的长轴长为 ，双曲线 的实轴长为 ， 的 在图②中， 周长为 ， 所以， ，可得 ， 的 在图①中，由双曲线 定义可得 ，由椭圆的定义可得 ， ，则 ， 即 ， 由题意可知， 的周长为 ，即 ，所以， . 因此， 与 的离心率之比为 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 、 的值，根据离心率的定义求解离心率 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程，然后转化为关于 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为 的中点，则（ ） A. B. 直线 平面 C. 直线 与平面 所成角的正切值为 D. 点 到平面 的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得到 为等边三角形，又 为 的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理 证明B；用线面角的定义可知 为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D． 【详解】解：对于A， ， ， ， 为等边三角形，又 为 的中点， 所以 ，故A正确；对于B，取 中点 ，连接 ， ， ，可知 且 ， 又 且 ， 所以 且 ，所以四边形 是平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ，故B正确； 对于C，取 的中点 ，连接 ，则 ，因为 平面 ， 所以 平面 ， 所以 与平面 所成的角为 ， 所以 ，故C错误； 对于D，设点 到平面 的距离为 ，利用等体积法知 ，即 ，解得 ，故D正确； 故选：ABD 10. 已知圆C： ，直线l： （ ），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当 时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1D. 圆C与圆 恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线 过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断 圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线 的方程为 ，由 ，得 ， 直线 过定点 ，A正确； 对于B，又 ，即定点 在圆 内，则直线 与圆 相交，有两个交点，B错误； 对于C，当 时，直线 ： ，圆心 到直线 的距离为 ， 而圆 半径为2，且 ，因此恰有2个点到直线 的距离等于1，C正确； 对于D，圆 化为 ， 圆 的圆心为 ，半径为4， 两圆圆心距为 ， . 两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确 故选：ACD. 11. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 是椭圆 上异于 的一点，且 （ 为坐标原点），记 的斜率分别为 ，设 为 的内心，记 的面积分别为 ， ，则（ ） A. B. 的离心率为C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意点 在以 为直径的圆上，由此即可判断A；对于B，由离心率定义结合正弦 定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由 的关系以及这三个三角形的高 一样即可验算. 【详解】 因为 ，所以 为正三角形，且点 在以 为直径的圆上， 所以 ，即 ，故A正确． 不妨设 ， 则 的离心率为 ，故B错误． ，故C正确． 设 的内切圆半径为 ，则 ，， ，所以 ，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是得出 为正三角形，且点 在以 为直径的圆上，由此 即可逐一判断各个选项，进而顺利得解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于3，那么点 与两个焦点所构成的三角形的周 长等于________________. 【答案】42 【解析】 【分析】求双曲线的定义求出点 到另一个焦点的距离，即可求解 【详解】双曲线 的 ，则 ， 设 到它的上焦点 的距离等于3， 由于 ， 则 为上支上一点， 则由双曲线的定义可得 ，（ 为下焦点）． 则有 ， 则点 与两个焦点所构成三角形的周长为 ． 故答案为：42． 13. 已知过定点 的动圆 与定圆 相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ______.【答案】 【解析】 【分析】根据两圆位置关系可得 ，结合椭圆定义求方程即可. 【详解】因为圆 的圆心为 ，半径 ， 设动圆 的半径为 ， 显然点 在圆 内，则 ， 可得 ， 可知动圆 的圆心 的轨迹是以 为焦点的椭圆， 则 ， ，所以动圆的圆心的轨迹方程为 . 故答案为： . 14. 设椭圆 的两焦点为 ， .若椭圆上存在点P，使 ，则椭圆的 离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设 ， ，根据椭圆性质和余弦定理得到 ，利用均值不等式 得到 ，解得答案. 【详解】设 ， ，则 ， ， 即 ，，即 ，当且仅当 时等号成立， 故 ，即 ， . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 关于直线 对称，且圆心在 轴上. （1）求 的标准方程； 的 （2）已知动点 在直线 上，过点 引 切线MA，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可. （2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值 即可. 【小问1详解】 因为圆的方程为 ， 所以圆心坐标为 ，由题意得圆关于直线 对称， 故 是圆的直径，即 在直线 上， 得到 ，而圆心在 轴上，故 ，解得 ， 代入到 中，得到 ，解得 ，故圆的一般方程为 ， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为 ， 【小问2详解】 首先， 可化为 ， 如图，作 ，且记直线 为 ， 由勾股定理得 ，故 ， 当 最小时， 一定最小，|MA|也一定最小， 由平面几何性质得当 时， 取得最小值， 由点到直线的距离公式得 ， 故 . 16. 已知椭圆 的长轴长为 ，离心率 ，过右焦点 的直线 交椭圆于 、 两点． （ ）求椭圆的方程． （ ）当直线 的斜率为 时，求 的面积．【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可得2a= ，e= ，从而解出椭圆方程 ； （2）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程 ，从而解出交点坐标，从而求面积； 解析： （ ）由已知，椭圆方程可设为 ， ∵长轴长为 ，离心率 ， ∴ ， ， 故所求椭圆方程为 ． （ ）因为直线 过椭圆右焦点 ，且斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，设 ， ， 由 ，得 ，解得 ， ， ∴ ． 17. 如图，四棱锥 的底面ABCD是平行四边形， , ，点 是线段BC（包括端点）上的动点.（1）若 ，求证：平面 平面PED； （2）平面PED和平面ABCD的夹角为 ，直线BC与平面PED所成角为 ，求 的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理，再结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）如图，以 为原点，以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设 ， ，利用向量法求出平面PED和平面ABCD的夹角的余弦值，直线BC与 平面PED所成角的正弦值，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， ， ， 所以 ，即 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ， 若 ，则由题意得 ， 所以 ，所以 ，即 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 . 【小问2详解】 ，所以 ， 所以 ，即 ， 又由（1）知 平面 ， 如图，以 为原点，以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 所以 ， ， 设 ， ， 则 ， 所以 ，所以 ， 为平面ABCD的法向量， ， ，设平面 的法向量为 ， 则 ， 可取 ， 平面PED和平面ABCD的夹角为 ， 所以 ， 直线BC与平面PED所成角为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 . 18. 已知双曲线 的方程为 ，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程； （2）过 且倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，求 的值（ 为坐标原点）.【答案】（1） ， ； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解 ，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 由离心率 ，又 ，则 ， 又长轴长 ，所以 ，所以 ， 故双曲线的标准方程为 ； 其渐近线方程为 . 【小问2详解】 直线 的倾斜角为 ，故其斜率为1，又 过点E(0,2)， 的方程为 ； 设 由 ，得 ，19. 设椭圆 的右顶点为 ，离心率为 ，且以坐标原点为圆心，椭圆 的短半 轴长为半径的圆与直线 相切． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆 相交于点 异于点 ，直线 与 轴相交于点 ，若 的面积为 ，求直线 的方程； （3） 是 轴正半轴上的一点，过椭圆 的右焦点 和点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） 或 或 或 ； （3） ． 【解析】 【分析】（1）根据已知得到关于 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线 方程为 ， ，求出直线 方程，再解方程 即得解； （3）设直线 的方程为 ，其中 ， ， ， ， ，联立直线和椭圆方程得到韦 达定理，求出 ，再就点 的位置分两种情况讨论得解. 【小问1详解】 由题意可得 ， 且点 到直线 的距离 又 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 . 【小问2详解】 设直线 方程为 ， ，与直线 的方程 联立 可得点 ， ， 联立直线 方程和椭圆方程 消去 ，整理得 ， 解得 ， ，可得 ， ， 由 ， ， 则直线 方程 ，令 ，解得 ，即 ，所以有 ， 整理得 ，解得 或 ， 所以直线 的方程为 或 或 或 . 【小问3详解】 设直线 的方程为 ，其中 ， ， ， ， ， 联立 ，得 ， ， ， ， ， 当点 在椭圆及外部，即 时， ， ， ； 当点 在椭圆内部，即 时， ， ， ， 令 ，则 ， ， 综上所述， 的取值范围为 ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，关键一，是就点 的位置分两种情况讨论；关键二是灵活运 用方法求函数的取值范围.