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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷01（参考答案）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B C A B D B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
BD AC AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 13．28 14．6
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 .
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .所以当 时， ，当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 .
16．（15分）
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的频率为：
，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 ， 的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间 ， 为事件 ，此人患这种疾病为事件 ，
则 ．
17．（15分）
【解析】证明：（1）连接 ， ，
， 为 中点．
，
又 ， ，
与 均为等边三角形，，
， ，
平面 ，
平面 ，
．
（2）设 ，
，
， ，
，
，
又 ， ，
平面 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ，
，
，
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，则 ，令 ，解得 ，
，令 ，解得 ， ，
故 ，1， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
故 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
18．（17分）
【解析】资料来源: 微信公众号 智慧学库
（1）将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，即 ，而直线 不过 点，故 ；
（2）设直线 的倾斜角为 ，由 ，
，得
由 ， ，
得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，
同理 ，
故 ，
而 ，由 ，得 ，
故 ．
19．（17分）
【解】（1）由已知得 .
于是当 时， .
又 ，故 ，即 .
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ， ，所以 .
因此， .
（3）下面分三种情况证明.
①若 是 的子集，则 .
②若 是 的子集，则 .
③若 不是 的子集，且 不是 的子集.
令 ， 则 ， ， .
于是 ， ，进而由 ，得 .
设 是 中的最大数， 为 中的最大数，则 .
由（2）知， ，于是 ，所以 ，即 .
又 ，故 ，
从而 ，
故 ，所以 ，
即 .
综合①②③得， .
