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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷02（参考答案）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D D B B D D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11
CD BCD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12．1 13． 14．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（13分）
【解析】【解】（1）设 ， ， ，
， ，
，即 ，
， ，
动点 的轨迹 的方程 .
（2）设 ，联立 ,可得： ，
由 得 ，化简得 ,
又因为 ， ， ，
所以 ，
即 ，
化简得 ，满足 ，
所以 .
16．（15分）
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
17．（15分）
【解析】（1）由已知可得， 的所有可能取值为0，20，100，
则 ，
，
所以 的分布列为：
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）由（1）可知小明先回答 类问题累计得分的期望为 ，
若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，
则 的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，则 的期望为 ，
因为 ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题
18．（17分）
【解析】（1）已知 ，函数定义域为 ，
若 ，此时 ，
可得
，
因为 ， ，
所以当 ，即 时， ， 单调递增；
当 ，即 时， ， 单调递减；
（2）不妨设 ，函数定义域为 ，
，
令 ， ，
此时 ，
不妨令 ，
可得 ，
所以 单调递增，
此时 （1） ，①当 时， ，
所以 在 上单调递减，
此时 ，
则当 时， 恒成立，符合题意；
②当 时，
当 时， ，
所以 ，
又 （1） ，
所以在区间 上存在一点 ，使得 ，
即存在 ，使得 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 单调递增，
可得当 时， ，不符合题意，
综上， 的取值范围为 ， ．
资料来源: 微信公众号 智慧学库
19．（17分）
【解】（1） ,
当且仅当 时， 在R上取得最大值，故 ；
（2） 定义域为R，，
令 ，则 ，
令 得 ，
- 0 +
极小值
其中 ，故 ， ，
可以看出 ，
故 有且仅有2个零点，分别为1和2，
令 得 或1或2，
1 2
+ 0 - 0 + 0 -
极大值 极小值 极大值
其中 ，
故当 或2时， 取得最大值，故 ；
（3） ， ，
， ，令 得 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
……，
由于 ，
故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，
要想集合 中有且仅有两个元素，
则需要 或 ，
或 ，……， ，
其中 ，
，
又 ，
所有的 均处在单调递增区间上，
所以 为定值，
故所有满足条件的 从小到大排列构成一个等差数列．
