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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（2023全国甲卷数学（理））若复数 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．故选：C.
2.（2023新课标全国Ⅱ卷）设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .故选：B.
3.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ， ，由 可得， ，
即 ，整理得： ．故选：D．
4.（2023新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽
样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 ，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 种.故选：D.
5.（2023•新高考Ⅱ）若 为偶函数，则
A． B．0 C． D．1
【答案】
【解析】由 ，得 或 ，
由 是偶函数， ，
得 ，
即 ，
，得 ，得 ．故选： ．
6.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .故选：B
7．（2021•新高考Ⅰ）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一：函数 是增函数， 恒成立，
函数的图象如图， ，即切点坐标在 轴上方，
如果 在 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点 在 轴或下方时，只有一条切线．
如果 在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知 在图象的下方，并且在 轴上方时，有两条切线，可知 ．故选： ．
法二：设过点 的切线横坐标为 ，
则切线方程为 ，可得 ，
设 ，可得 ， ， ， 是增函数，
， ， 是减函数，
因此当且仅当 时，上述关于 的方程有两个实数解，对应两条切线．故选： ．
8.（2023全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2022新课标全国Ⅱ卷）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11
天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指
数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，
复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;10．（2023新课标全国Ⅱ卷）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
11．（2023新课标全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁
厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为 ，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为 ，且 ，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为 ，且 ，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为 ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过 的中点 作 ，设 ，
可知 ，则 ，
即 ，解得 ，且 ，即 ，
故以 为轴可能对称放置底面直径为 圆柱，
若底面直径为 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心 ，与正方体的下底面的切点
为 ，
可知： ，则 ，
即 ，解得 ，
根据对称性可知圆柱的高为 ，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2023·北京卷）已知函数 ，则 ____________．
【答案】1
【解析】函数 ，所以 .13.（2023全国乙卷数学（文））已知 为等比数列， ， ，则 ______.
【答案】
【详解】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
14.（2023新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台 中， ，则该棱台的体积
为________．
【答案】
【详解】如图，过 作 ，垂足为 ，易知 为四棱台 的高，
因为 ，
则 ，
故 ，则 ，
所以所求体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（新题型）在平面直角坐标系 中，点 分别在 轴， 轴上运动，且 ，动
点 满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)设直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值.
【解】（1）设 ， ， ，
， ，
，即 ，
， ，
动点 的轨迹 的方程 .
（2）设 ，
联立 ,可得： ，
由 得 ，化简得 ,
又因为 ， ， ，
所以 ，
即 ，
化简得 ，满足 ，
所以 .
16．（15分）（2023新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥 中， ， ，，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
17．（15分）（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题．每位参加比赛
的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正
确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． 类问题中的每个
问题回答正确得20分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答 类问题的概率为0.8，能正确回答 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率
与回答次序无关．
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】（1）由已知可得， 的所有可能取值为0，20，100，
则 ，
，
所以 的分布列为：
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）由（1）可知小明先回答 类问题累计得分的期望为 ，
若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，
则 的所有可能取值为0，80，100，
，，
，
则 的期望为 ，
因为 ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题
18．（17分）（2023•甲卷（理））已知 ， ．
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）已知 ，函数定义域为 ，
若 ，此时 ，
可得
，
因为 ， ，
所以当 ，即 时， ， 单调递增；
当 ，即 时， ， 单调递减；
（2）不妨设 ，函数定义域为 ，
，
令 ， ，此时 ，
不妨令 ，
可得 ，
所以 单调递增，
此时 （1） ，
①当 时， ，
所以 在 上单调递减，
此时 ，
则当 时， 恒成立，符合题意；
②当 时，
当 时， ，
所以 ，
又 （1） ，
所以在区间 上存在一点 ，使得 ，
即存在 ，使得 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 单调递增，
可得当 时， ，不符合题意，
综上， 的取值范围为 ， ．
资料来源: 微信公众号 智慧学库19．（17分）（新题型）若存在 使得 对任意 恒成立，则称 为函数 在 上
的最大值点，记函数 在 上的所有最大值点所构成的集合为
(1)若 ，求集合 ；
(2)若 ，求集合 ；
(3)设 为大于1的常数，若 ，证明，若集合 中有且仅有两个元素，则所有满
足条件的 从小到大排列构成一个等差数列．
【解】（1） ,
当且仅当 时， 在R上取得最大值，故 ；
（2） 定义域为R，
，
令 ，则 ，
令 得 ，
- 0 +
极小值
其中 ，故 ， ，可以看出 ，
故 有且仅有2个零点，分别为1和2，
令 得 或1或2，
1 2
+ 0 - 0 + 0 -
极大 极大
极小值
值 值
其中 ，
故当 或2时， 取得最大值，故 ；
（3） ， ，
， ，
令 得 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
……，
由于 ，
故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，
要想集合 中有且仅有两个元素，则需要 或 ，
或 ，……， ，
其中 ，
，
又 ，
所有的 均处在单调递增区间上，
所以 为定值，
故所有满足条件的 从小到大排列构成一个等差数列．
