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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷03（参考答案）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A D B D B C B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
AC AD BCD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 60 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）
【解析】（1）当漏诊率 （c） 时，
则 ，解得 ；
（c） ；
（2）当 ， 时，
（c） （c） （c） ，
当 ， 时 ， （ c ） （ c ） （ c ）
，
故 （c） ，所以 （c）的最小值为0.02．
16.（本小题满分15分）资料来源: 微信公众号 智慧学库
【解】（1）由题意知 ，则 ；由 ，则 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2）
由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设其方程为 ，
联立 ，得 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
∴ ，则 或 ，
综上，斜率范围为 .
17．（本小题满分15分）
【解析】（1）由直三棱柱 的体积为4，可得 ，设 到平面 的距离为 ，由 ，
， ，解得 ．
（2）连接 交 于点 ， ， 四边形 为正方形，
，又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
由直三棱柱 知 平面 ， ，又 ，
平面 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，又 ，解得 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ，
则 ，2， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
二面角 的正弦值为 ．
18.（本小题满分17分）
【解析】（1）证明：设 ， ，
则 ， ，
在 上单调递减，
，
在 上单调递减，
，
即 ， ，
， ，
设 ， ，
则 ，
在 上单调递增，
， ，
即 ， ，， ，
综合可得：当 时， ；
（2） ， ，
且 ， ，
①若 ，即 时，
易知存在 ，使得 时， ，
在 上单调递增， ，
在 上单调递增，这显然与 为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若 ，即 或 时，
存在 ，使得 ， 时， ，
在 ， 上单调递减，又 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，满足 为 的极大值点，符合题意；
③若 ，即 时， 为偶函数，
只考虑 的情况，
此时 ， 时，
，
在 上单调递增，与显然与 为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得： 的取值范围为 ， ， ．
19.（本小题满分17分）
【解】（1）因为 ，则 ，又 ，
所以 ，故函数 具有性质 ；
因为 ，则 ，又 ，
，故 不具有性质 .
（2）若函数 具有性质 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
若 ，不妨设 ，由 ，
得 （*），
只要 充分大时， 将大于1，而 的值域为 ，
故等式（*）不可能成立，所以必有 成立，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，此时 ，
则 ，
而 ，即有 成立，
所以存在 ， 使函数 具有性质 .
（3）证明：由函数 具有性质 及（2）可知， ，
由 可知函数 是以 为周期的周期函数，则 ，即 ，所以 ， ；
由 ， 以及题设可知，
函数 在 的值域为 ，所以 且 ；
当 ， 及 时，均有 ，
这与 在区间 上有且只有一个零点矛盾，因此 或 ；
当 时， ，函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为 ，
而 ，于是函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为 ，
函数 在当 时和 时的取值范围不同，
与函数 是以 为周期的周期函数矛盾，
故 ，即 ，命题得证.
