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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1.（2022•新高考Ⅰ）若集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
．故选： ．
2.（2023全国乙卷数学（理））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得 ，
则 .故选：B.
3．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说
法正确的是
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】
【解析】 相关系数 ，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．故选： ．
4.（2023•天津）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】 ，即 ，解得 或 ，
，即 ，解得 ，
故“ ”不能推出“ ”，充分性不成立，
“ ”能推出“ ”，必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
5.（2023全国甲卷数学（理））4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中
任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
【答案】B
【详解】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有
种方法，同理： 连续参加了两天社区服务，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种.
故选：B.6.（2023全国乙卷数学（文）（理））已知函数 在区间 单调递增，直线 和
为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，故选：D.
7.（2023全国甲卷数学（文））在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，是边长为2的等边三角形， ，
，又 平面 ， ，
平面 ，
又 ， ，
故 ，即 ，
所以 ，故选：A
8.（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． C．0 D．1
【答案】
【解析】令 ，则 ，即 ，
， ，
，则 ，
的周期为6，
令 ， 得 （1） （1） （1） ，解得 ，
又 ，
（2） （1） ，
（3） （2） （1） ，
（4） （3） （2） ，
（5） （4） （3） ，（6） （5） （4） ，
，
（1） （2） （3） （4） ．
故选： ．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2020新课标全国Ⅰ卷）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10．（2023新课标全国Ⅱ卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为
，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考虑
两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发
送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概
率
【答案】ABD
【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
11．（2023新课标全国Ⅰ卷）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。资料来源: 微信公众号 智慧学库
12．（2023•天津）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设
， ，则 可用 ， 表示为 ．
【答案】 ．
【解析】在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点， ， ，则
13.（2022•新高考Ⅰ） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】 ．
【解析】 的通项公式为 ，
当 时， ，当 时， ，
的展开式中 的系数为 ．
14.（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量
的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9的数列 ，该数列的前3项成等
差数列，后7项成等比数列，且 ， ， ，则 ，数列 的所有项
的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】 数列 的后7项成等比数列， ，
，
，
公比 ．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列 的所有项的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分 13分）（2021•新高考Ⅱ）在 中，角 ， ， 所对的边长为 ， ， ，， ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1） ，
根据正弦定理可得 ，
， ，
， ， ，
在 中，运用余弦定理可得 ，
，
，
．
（2） ，
为钝角三角形时，角 必为钝角，
，
，
，
，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即 ，即 ，
，
为正整数，
．
16．（本小题满分15分）（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．
点 ， ， ， 分别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：
，2， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ，
，又 ， ， ， 四点不共线，
；
（2）在（1）的坐标系下，可设 ，2， ， ， ，
又由（1）知 ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，根据题意可得 ， ，
，
，又 ， ，
解得 或 ，
为 的中点或 的中点，
．
17．（本小题满分15分）（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中
则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙
每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ， ，2， ， ，则
．记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为 ，
由题意得 ；
（2）由题意设 为第 次投篮的是甲，则 ，
，
又 ，则 是首项为 ，公比为0.4的等比数列，
，即 ，
第 次投篮的人是甲的概率为 ；
（3）由（2）得 ，
由题意得甲第 次投篮次数 服从两点分布，且 ，
，
当 时， ；
当 时， ，
综上所述， ， ．
18．（本小题满分17分）（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心
率为 ．
（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，
直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
【解析】（1）双曲线 中心为原点，左焦点为 ， ，离心率为 ，则 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）证明：过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，
则可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
记 的左，右顶点分别为 ， ，
则 ， ，
联立 ，化简整理可得， ，
故△ 且 ，
， ，
直线 的方程为 ，直线 方程 ，
故
，故 ，解得 ，
所以 ，
故点 在定直线 上运动．
19．（本小题满分17分）（2022•甲卷（理））已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，故函数 在 单调递减， 单调递增，
故 （1） ，要使得 恒成立，仅需 ，
故 ，故 的取值范围是 ， ；
（2）证明：由已知有函数 要有两个零点，故 （1） ，即 ，
不妨设 ，要证明 ，即证明 ，
， ，
即证明： ，又因为 在 单调递增，
即证明： ，
构造函数 ， ，，
构造函数 ，
，因为 ，所以 ，
故 在 恒成立，故 在 单调递增，
故 （1）
又因为 ，故 在 恒成立，故 在 单调递增，
又因为 （1） ，故 （1） ，
故 ，即 ．得证．
