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冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷05（参考答案）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D C C D B C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ABD BC ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．12 14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）
【解】（1）若 ，则 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 在 处的切线方程 ．
（2）由题意，从而 ，
①当 时， ，所以 ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，故 是 的极大值点，满足题意；
②当 时， ，所以 或 ， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，从而 是 的极大值点，满足题意；
③当 时， ，所以 在 上单调递增，不合题意；
④当 时， ，所以 或 ， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是 ．
16.（本小题满分15分）
【解析】 证明：取 中点 ，连接 ， ，
为 的中点． ，且 ，
四边形 是平行四边形，故 ，
平面 ； 平面 ，
平面 ，
是 中点， 是 的点，
， 平面 ； 平面 ，
平面 ，又 ，
平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ；
侧面 为正方形，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ， ，又 ， ，
若选①： ；又 ， 平面 ，
又 平面 ， ，又 ，
， ， ， 两两垂直，
若选②： 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
，又 ， ， ，
， ，
，又 ， ，
， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ，
，1， ， ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，平面 的一个法向量为 ， ， ，
又 ，2， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
， ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．（本小题满分15分）
【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率 ，又 ，
所以 ，则 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）证明：先证明充分性，
当 时，设直线 的方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，则 ，
联立方程组 ，可得 ，
则△ ，
因为 ，
所以 ， ，
因为直线 与曲线 相切，所以 ，则 ，
则直线 的方程为 恒过焦点 ，
故 ， ， 三点共线，
所以充分性得证．
若 ， ， 三点共线时，设直线 的方程为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，
所以 ；
所以必要性成立；
综上所述， ， ， 三点共线的充要条件是 ．
18．（本小题满分17分）资料来源: 微信公众号 智慧学库
【解析】（Ⅰ）由题意， ， ， ， ，
故 ；
（Ⅱ）证明：由题意可知， ，则 ，所以 ，变形为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，
若 时，则 的对称轴为 ，
注意到 ， （1） ，
若 时， （1） ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
（Ⅲ）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
19.（本小题满分17分）
【解】（1）证明：设 ， 且 为整数，
∴
∵ ，且 为整数，∴ 是正整数，
∴ 一定是20的倍数；
（2）∵ ，且 为正整数，∴ ，
当 时， ，没有满足条件的 ，
当 时， ，∴满足条件的有 或 ，
解得 或 ，∴ 或 ，
当 时， ，没有满足条件的 ，
当 时， ，
∴满足条件的有 ，解得 ，∴ ，
当 时， ，没有满足条件的 ，
当 时， ，
∴满足条件的有 或 ，
解得 或 ，∴ 或 ，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的 的最大值为 .
