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2023 级高二下学期 3 月阶段考
数学（人教 A 版）试题 C
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.请
在答题卡上作答.
第 I 卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一
项符合题目要求.
1. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，解方程即可.
【详解】 ,
因为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
2. 若椭圆 ： 的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线 E 的顶点和焦点，则双曲线 E 的标准
方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得出双曲线 E 的顶点和焦点坐标即可.
【详解】已知椭圆 的焦点坐标为 ，上下顶点坐标为 ，
则双曲线 E 的顶点为 ，焦点为 ，
第 1页/共 17页则双曲线 E 的标准方程为
故选：D
3. 设等比数列 的前 项和为 ，且 恰为 和 的等差中项，则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据 恰为 和 的等差中项，由 ，求得公比，再利用等比数列前 n
项和公式求解.
【详解】因为 恰为 和 的等差中项，
所以 ，则 ，
所以 ，
故选：B
4. “点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由题意可知，圆 的圆心为原点，半径为 ，
若点 在圆 外，则 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，此时，直线 与圆 相交，
即“点 在圆 外” “直线 与圆 相交”；
第 2页/共 17页若直线 与圆 相交，则 ，可得 ，
不妨取 ， ，则 ，此时，点 在圆 内，
所以，“点 在圆 外” “直线 与圆 相交”.
因此，“点 在圆 外”是“直线 与圆 相交”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 在数列 中， ， ，记 为数列 的前 项和，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中递推公式逐项计算出 、 、 、 的值，即可求得 的值.
【详解】在数列 中， ， ，则 ，可得 ，
，可得 ， ，可得 ，
，可得 ， ，可得 ，
，可得 ， ，可得 ，
，可得 ， ，可得 ，
因此， .
故选：A.
6. 已知点 的坐标为 ，动点 满足 ， 为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出 点的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆，从而 的最大值为 ，得到答
案.
第 3页/共 17页【详解】点 的坐标为 ，动点 满足 ，
故 点的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆，
圆的方程为 ，
圆心 与原点 的距离为 ，
则 的最大值为 .
故选：B
7. 已知 是椭圆 上两点， 分别为 的左、右焦点，
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，可得 ， 点共线，设 ，可得 ，由
的周长为 ，可得 ，在 中，利用勾股定理有 ，化简整
理，即可求出离心率.
【详解】由 可知，
，由 得， 点共线.
又 ，设 ，
连接 ，则 ，
由椭圆的定义可知 的周长为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，再根据椭圆的定义可知， ，
第 4页/共 17页则在 中， ，即 ，
解得 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由 ，设 ，得到 ，由 的
周长为 ，可得 ，再在 中，利用勾股定理即可.
8. 在数列 中， ，且 ，则 的值为（ ）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】先进行因式分解，表示出 于 间的递推式，最后代入数据即可.
【详解】解： ，且 ，
，
又
.故选:C.
二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. 已知等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ， ， ，则（ ）
A. B. C. 中 最大 D.
【答案】BCD
【解析】
第 5页/共 17页【分析】由等差中项及等差数列的前 项分别化简 和 ，得到 和 的正负情况，然后根据等差数列
的性质判断各个选项.
【详解】 ，∴ ，
，∴ ，∴ ，A 选项错误；
∴ ，B 选项正确；
∴ 中 最大，C 选项正确；
∵ ， 且 ，∴ ，D 选项正确.
故选：BCD
10. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 、 、 成等比数列
B. 若 为等差数列，则 为等差数列
C. 若 为等比数列，则 为等差数列
D. 若 ， ， ，则 为等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】根据特殊数列法判断 A；利用等差数列的定义判断 B；取 判断 C；利用等比数列的定义
判断 D.
【详解】对于 A，当 时有 ，此时 、 、 不成等比数列，A 错；
对于 B，设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以， ，则 ，
第 6页/共 17页因此，若 为等差数列，则 为等差数列，B 对；
对于 C，若 为等比数列，取 ，则当 为正奇数时， 无意义，C 错；
对于 D，因为 ，所以 ，
而 ， ， ， ，
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，D 对
故选：BD.
11. 已知 为坐标原点，抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 的准线为 ，点 在抛物线 上，直线
过点 且与 交于 ， 两点，则（ ）
A. 若点 的坐标为 ，则 的最小值为 3
B. 以线段 为直径的圆与直线 相离
C. 点 到直线 的最小距离为
D. 可能为钝角三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】由抛物线的定义可得 A 正确；设 ，直线 的方程为 ，联立曲线
方程，然后用韦达定理求出弦长 ，再利用换元法求出中点到准线的距离可得 B 正确；由点到直线的距
离公式结合二次函数可得 C 错误；由向量垂直的坐标表示结合韦达定理可得 D 错误.
【详解】对于 A，作 于 ，由抛物线的定义可得 ，
当 三点共线时取等号，故 A 正确；
第 7页/共 17页对于 B，设 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消去 可得 ， ，
，
设线段 的中点为 ，则 ，
，
到准线的距离为 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以以线段 为直径的圆与直线 相离，故 B 正确；
对于 C，设 ，由点到直线的距离公式可得 ，
当 时，距离的最小值为 ，故 C 错误；
对于 D，设 ，则 ，
由 B 可得 ，
所以 ，故 D 错误.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，设直线 ， ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由两直平行得到 ，求解并验证即可；
第 8页/共 17页【详解】因为直线 ， ， ，
所以 ，即 ，
当 时，直线重合，舍去，
当 时，符合题意；
故 ；
故答案为：
13. 已知点 在抛物线 上，且到 的焦点的距离为 ，则实数
__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由抛物线定义求出 ，得到抛物线方程，再将点 代入，即可求得 .
【详解】由抛物线的定义可知， ，
解得 ，所以 ，
将点 代入得， ，又 ,所以 .
故答案为： .
14. 已知各项均不为零的数列 ，其前 项和是 ，且 ．若 为递增数列，
，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】当 时，求得 ；当 时，由 可得 ，作差推导出数列 的
奇数项和偶数项分别成以 为公差的等差数列，根据数列的单调性得出 ，即可解得实数 的取
值范围.
第 9页/共 17页【详解】由题意可知， ，且对任意的 ， ，
当 时，则有 ，即 ，解得 ，
当 且 时，由 可得 ，
这两个等式作差可得 ，可得 ，
所以，数列 的奇数项和偶数项分别成以 为公差的等差数列，且 ，
因为数列 为递增数列，只需 即可，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
.
15. （1）等比数列 中， ， ，求数列 的通项公式；
（2）等差数列 中，公差 ，且满足 ， ，求数列 的通项公式.
【答案】（1） 或 ；
（2） ；
【解析】
【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量求解即可；
（2）由等差数列的通项性质得到 ，然后求解出 ， ，计算出公差求解通
项公式即可.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 .
（2）在等差数列 中， ，又 ， ，
所以解得 ， ，
第 10页/共 17页所以 ， .
16. 在圆 上任取一点 ，过点 作 x 轴的垂线段 为垂足，当点 在圆上运动时，记线段
的中点 的轨迹为 .
（1）求 的方程.
（2）直线 与 C 交于 两点（点 不重合）.
①求 的取值范围；
②若 ，求 .
【答案】（1）
（2）① ，②
【解析】
【分析】（1）设 ，则 ，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去 ，得到 的方程，运用判别式大于 0，即可求解 的范围，代入
，求解方程两根，即可根据弦长公式求解.
【小问 1 详解】
设 ，则 ，
将 代入 ，可得 ，即
即点 的轨迹 的方程为 ；
【小问 2 详解】
①由 ，联立整理得： ，
由 ，即 ，化简得 ，
故 ，
②当 时， ，解得 ，
第 11页/共 17页故 .
17. 如图，在正四棱锥 中， ， 为侧棱 SD 的中点．
（1）求证： ；
（2）求点 到平面 PAC 的距离；
（3）求平面 SBC 与平面 PAC 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明垂直关系；
（2）利用空间向量 坐标运算求点到直线的距离；
（3）利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
连接 交 于点 ，连接 ,
因为 是正四棱锥，所以 平面 ，
且 平面 ，所以
又因为 为正方形，所以 ,
所以以 方向为 轴建立如图所示空间指标坐标系，
因为 ，所以 , ,
所以 , ,
第 12页/共 17页所以 ,
所以 ，
，所以
【小问 2 详解】
设平面 的一个法向量为 ，
,
所以 ，即 ，令 ，可得 ，
所以点 到平面 PAC 的距离为 .
小问 3 详解】
设平面 的一个法向量为 ，
,
所以 ，即 ，令 ，可得 ，
设平面 SBC 与平面 PAC 夹角为 ，则由图可知 为锐角，
所以 即为所求.
18. 已知数列 满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
第 13页/共 17页（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ；
（3）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系，得出 为常数，结合等比数列得定义求解 的通项公式；
（2）结合第一问题，写出 的通项公式并进行裂项，再求解数列 的前 项和为 ，从而证明
；
（3）利用错位相减法求解数列 的前 项和 即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 恒成立
所以 为 为公比的等比数列，且 ， 也满足
所以
【小问 2 详解】
证明：由（1）知 ，所以 ，
数列 的前 项和为 ，
又因为 ，所以
【小问 3 详解】
由（1）知
第 14页/共 17页所以数列 的前 项和 ①
对①式两边同乘 可得 ②
则② ①可得
所以
即
19. 已知过点 的双曲线 的渐近线方程为 .如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐
标轴都不垂直的直线 交 的右支于 两点.
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上的点 到其两条渐近线的距离分别为 ，求 的值；
（3）已知点 ，求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由渐近线方程得到 ，代入点 即可求解；
（2）由点到线的距离公式求解即可；
（3）设直线方程 ，联立双曲线方程，结合韦达定理，由 即可求证；
【小问 1 详解】
第 15页/共 17页因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以设双曲线方程为 ，
又双曲线过点 ，
则 ，所以双曲线的方程为 ，
即 .
【小问 2 详解】
因为 在曲线 上，
则 ，
渐近线方程： ，
所以：
【小问 3 详解】
由（1）可知 的斜率存在且不为 0，设 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
设 ，由题意得 ，
则 ，
所以
第 16页/共 17页，
所以 得证.
【点睛】关键点点睛：由 ，求证 ；
第 17页/共 17页
