八省2025年高考综合改革适应性演练联考-数学答案（网络版1）_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年01月试卷

2025年八省高考适应性模拟演练数学
一、单选题：
1. 已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B= ( )
A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {-1,0,1,4}
【答案】C.
2. 函数fx 
π
=cosx+
4
 的最小正周期是 ( )
π π
A. B. C. π D. 2π
4 2
【答案】D.
3. 2-4i= ( )
A. 2 B. 4 C. 2 5 D. 6
【答案】C.
【解析】2-4i= 22+-4  2=2 5.

4. 已知向量a=0,1 

,b=1,0 
  
,则a⋅a-b  = ( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】B.
  
【解析】a⋅a-b  =0,1  ⋅-1,1  =1.
y2
5. 双曲线x2- =1的渐近线方程为 ( )
9
A. y=±x B. y=±2x C. y=±3x D. y=±4x
【答案】C.
y2 y2
【解析】双曲线x2- =1的渐近线方程为x2- =0,即y=±3x.
9 9
6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为 ( )
3
A. π B. π C. 2π D. 3π
3
【答案】A.
1 3
【解析】圆锥的底面半径r=1,母线长l=2,高h= l2-r2= 3,体积V= πr2h= π.
3 3
3
7. 在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC= ,则△ABC的面积为 ( )
5A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
【答案】C.
4 BC sinA
【解析】注意到sin∠BAC=sinA= = = ,
5 AC sinB
因此△ABC是以AC为斜边的直角三角形,直角边长分别为6,8,面积为24.
8. 已知函数fx  =xx-a-2a2.若当x>2时,fx  >0,则a的取值范围是 ( )
A. (-∞,1] B. -2,1  C. -1,2  D. [-1,+∞)
【答案】B.
【解析】根据题意,f2  ≥0,于是22-a-2a2≥0⇔-2≤a≤1,
此时fx  =xx-a 
a
-2a2,x=2在其对称轴x= 右侧,符合题意,
2
因此a的取值范围是-2,1  .
二、多选题：
9. 已知F2,0  是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则 ( )
A. p=4 B. MF≥OF
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 3
【答案】ABC.
【解析】对于选项A,由F2,0 
p
是抛物线C:y2=2px的焦点可得 =2,选项正确;
2
对于选项B,记准线x=-2为l,则MF=dM,l  ≥dO,l  =OF,选项正确;
对于选项C,由MF=dM,l  可得选项正确;
对于选项D,由△OFM的面积为2 3,OF=2,可得M到x轴的距离为2 3,进而MF=4,
从而M点的横坐标为2,于是M2,2 3  ,该点并不在C上,选项错误;
综上所述,正确的选项是ABC.
10.在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.
ex-e-x ex+e-x sinhx
定义双曲正弦函数sinhx= ,双曲余弦函数coshx= ,双曲正切函数tanhx= ,则
2 2 coshx
( )
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数 D. tanhx+y 
tanhx+tanhy
=
1+tanhxtanhy
【答案】ACD.
【解析】对于选项A,由于y=ex和y=-e-x均为增函数,选项正确;
对于选项B,由于对任意x∈R,cosh-x  =coshx,选项错误;ex-e-x 2
对于选项C,有tanhx= =1- ,选项正确;
ex+e-x e2x+1
tanhx+tanhy ex+e-x+ey+e-y
对于选项D, =
1+tanhx+tanhy ex-e-x
1+
 ex-e-y 
1+ex
ex-e-x
=
 ey+e-y  +ey-e-y  ex+e-x 
ex+e-x  ey+e-y  +ex-e-x  ey-e-y 
ex+y+ex-y-ey-x-e-x-y+ex+y+ey-x-ex-y-e-x-y 2ex+y-2e-x-y
= =
ex+y+ex-y+ey-x+e-x-y+ex+y-ex-y-ey-x+e-x-y 2ex+y+2e-x-y
ex+y-e-x-y
= =tanhx+y
ex+y+e-x-y
 ,选项正确;
综上所述,正确的选项是ACD.
11.下面四个绳结中,不能无损地变为如图中的绳结的有 ( )
A. B. C. D.
【答案】ABD.
【解析】把选项C中下方的部分往上翻就可以得到如图中的绳结.
三、填空题
12.已知函数fx  =axa>0,a≠1  ,若fln2  fln4  =8,则a= .
【答案】e.
【解析】由fln2  fln4  =8,可得aln2⋅aln4=8⇒aln2+ln4=8⇔aln8=8⇔a=e.
13.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之
和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 .
3
【答案】 .
56
【解析】8张卡片之和为36,考虑抽出3张卡片上数字之和为18,
则相当于从-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2中选3个数和为0,
①中间数为0,有2种组合；
②中间数为1,有1种组合；3 3
所求概率为 = .
C3 56
8
2
14.已知曲线C:y=x3- ,两条直线l ,l 均过坐标原点O,l 和C交于M,N两点,l 和C交于P,Q两点.若
x 1 2 1 2
△OPM的面积为 2,则△MNQ的面积为 .
【答案】2 2.
【解析】注意到曲线C关于原点对称,于是S =2S =2S =2 2.
△MNQ △MOQ △OPM
四、解答题
15.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表:
未患病 患病 合计
未服用药物 100 80 S
服用药物 150 70 220
合计 250 t 400
(1)求s,t;
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值；
(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效？附:
nad-bc
χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
,
Pχ2≥k  0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】1 
4
s=180;t=150;(2) ;(3)可以认为药物A对预防疾病B有效.
9
【解析】(1)根据题意,s=100+80=180;t=80+70=150.
80 4
(2)p的估计值为 = .
100+80 9
(3)零假设H ：药物A对预防疾病B无效
0
400⋅100⋅70-150⋅80
根据卡方计算公式,有χ2=
 2 2000
= ≈6.73>6.635,
250⋅150⋅180⋅220 297
于是根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为药物A对预防疾病B有效.
16.已知数列a
n

3a
中,a =3,a = n .
1 n+1 a +2
n
1
(1)证明:数列1-
 a
n
 为等比数列；
(2)求a
n
 的通项公式；
a
(3)令b = n+1 ,证明:b <b <1.
n a n n+1
n1
【答案】(1)略；(2)a = n 2
1-
3

n∈N* n  ;(3)略
1 a +2
1- 1- n
a 3a 2
【解析】(1)根据题意,有 n+1 = n = ,命题得证.
1 1 3
1- 1-
a a
n n
1 2
(2)根据第(1)小题的结果,有1- = a 3
n

n
n∈N* 
1
,于是a = n 2
1-
3

n∈N* n  .
a 3n+1 3n-2n 33n-2n
(3)b = n+1 = ⋅ =
n a 3n+1-2n+1 3n
n

3
3 2
=
3n+1-2n+1

n
-3
3
3⋅
2

3
3⋅ 2
=
n
-2

n
-1
3
3⋅
2

n
-2
1
=1-
3
3⋅
2

n
-2
3
显然 3⋅ 2 
n
 -2  
3
关于n∈N*单调递增,且3⋅ 2 
n
-2>0恒成立,
1
∴
3
3⋅
2


 n
-2
 单调递减,∴b
n
 关于n∈N*单调递增,且b <1。
n
∴b <b <1.
n n+1
17.已知函数fx 
b
=alnx+ -x.
x
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=fx  的斜率为2的切线方程；
(2)若x=1是fx  的极小值点,求b的取值范围.
【答案】(1)y=2x-5;(2){a-1},其中a>2.
【解析】1)fx 
2
=lnx- -x,fx
x

1 2
= + -1=2⇒3x+2
x x2
 x-1  =0,
∵x>0,∴x=1,故切点为(1,-3),k=2,切线方程为y=2x-5.
(2)fx 
a b
= - -1,∵x=1为fx
x x2
 的极小值点,
∴f1  =a-b-1=a=b+1
∴fx 
x2-b+1
=-
 x+b x-1
=-
x2
 x-b 
x2
①当b≤0时,x-b>0,令fx  =0⇒x=1
此时当0<x<1时,fx  >0,fx  单调递增；当x>1时,fx  <0,fx  单调递减,
fx  在x=1取得极大值,舍去.
②当b=1时,fx 
x-1
=-
 2
≤0,fx
x2
 在0,+∞  上单调递减,fx  不存在极值,
③当0<b<1时,当0<x<b时,fx  <0,fx  单调递减；
当b<x<1时,fx  >0,fx  单调递增；当x>1时,fx  <0,fx  单调递减
此时,fx  在x=1取得极大值,舍去
④当b>1时,当0<x<1时,fx  <0,fx  单调递减；当1<x<b时,fx  >0,fx  单调递增；当x>b时,fx  <0,fx  单调递减
此时fx  在x=1取得极小值,符合
综上:b的取值范围为1,+∞  .
1
18.已知椭圆C的离心率为
2
,左、右焦点分别为F 1-1,0  ,F 21,0  .
(1)求C的方程；
(2)已知点M 01,4  ,证明:线段FM 的垂直平分线与C恰有一个公共点； 1 0
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该
1
圆的方程.
【答案】 1 
x2 y2
+ =1;(2)略；(3)x-1
4 3
 2+y2=16.
x2 y2
【解析】(1)椭圆C的半焦距为1,长半轴长为2,因此C的方程为 + =1.
4 3
(2)记线段FM 的垂直平分线为l,T是直线l上一点,
1 0
则TF 1+TF 2=TM 0+TF 2,
当T在线段F
2
M
0
上时,有TM 0+TF 2=M
0
F 2=4,于是T同时在椭圆C上;当T不在线段F
2
M
0
上时,有
TM 0+TF 2>M
0
F 2=4,于是T在椭圆C外;因此直线l上有且仅有一点在椭圆C上(即与线段F
2
M
0
的交
点),命题得证.
(3)设Mx 0 ,y 0 
x -1 x -1
情形一:当y =0时,FM的垂直平分线为x= 0 ,此时 0 =±2,x =5或-3
0 1 2 2 0
x +1 x -1
情形二:当y ≠0时,FM的垂直平分线为:y=- 0 x- 0
0 1 y 2
0

y x +1 x2+y2-1
+ 0 = 0 x+ 0 0
2 y 2y
0 0
x +1 x2+y2-1
  y=- 0 y 0 x+ 0 2y 0 0 ⇒3x2+4 x2 0 +y2 0 -1
3x2+4y2=12
 2 - x 0 +1
4y2
0
 x2 0 +y2 0 -1  x+ x 0 +1
y2
0
 2   x2 
 y2
0
 =12
∴ 3+ 4x 0 +1  2  

 y2
0
 x2- 4x 0 +1  x2 0 +y2 0 -1  x+ x2 0 +y2 0 -1
y2
0
 2 12=0
y2
0
∵FM的垂直平分线与C恰有一个公共点
1
∴Δ= 16x 0 +1  2 x2 0 +y2 0 -1  2 -4 3+ 4x 0 +1
y4
0
 2  

 y2
0
 x2 0 +y2 0 -1  2   -12

 y2
0
 =0
⇒ 3x2 0 +y2 0 -1  2 -36- 48x 0 +1
y2
0
 2 =0
y2
0
⇒y4 0 +2x2 0 -14  y2+x4-18x2-32x -15=0 0 0 0 0
⇒y4 0 +2x2 0 -14  y2 0 +x 0 +1  2 x 0 +3  x 0 -5  =0
⇒y4 0 +2x2 0 -14  y2 0 +x2 0 +2x 0 +1  x2 0 -2x 0 -15  =0
y2 0 +x2 0 +2x 0 +1  y2 0 +x2 0 -2x 0 -15  =0
∵x2 0 +y2 0 +2x 0 +1=x 0 +1  2+y2>0,∴x2+y2-2x -15=0 0 0 0 05,0  ,-3,0  也满足上式,
∴M的轨迹方程为x-1  2+y2=16,它为一个圆
19.在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP,
其中P为动点.
(1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.
①证明:平面PAC⊥平面ABC;
②求球O的半径;
(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
10 3
【答案】(1)① 略；② ；(2) .
2 3
【解析】(1)如图.
①AB⊥AC,AB⊥PC,于是AB⊥PAC,从而面PAC⊥面ABC;
②建立空间直角坐标系A-BCZ,则A0,0,0  ,B1,0,0  ,C0,1,0 
3 3
,P0, ,
2 2
 ,
三棱锥P-ABC的外接球球心O在底面ABC上的投影为△ABC的外心,
1 1
于是设O , ,t
2 2

1 5 3
,则AO=OP⇒ +t2= +t-
2 2 2

2 3
⇒t= ,
2
10
进而球O的半径为 .
2
(2)根据第(1)小题的结果,
3 设Pm, ,n
2
 ,其中m2+n2= 3 即n2= 3 -m2,m∈  - 3 , 3
4 4  2 2
 ,

AC=0,1,0
有
 ,

1
CP=m, ,n 2  ,
 3
PB=1-m,- ,-n
2


n =n,0,-m
⇒ ACP
,
 ,

n =2n,2n,-2m-1 CPB 
 
 
 
 ,


因此二面角A-CP-B的余弦值
 
n ⋅n 2n2+2m2+m
cosθ= ACP CPB =
 
n ⋅n  m2+n2⋅ 8n2+2m+1
ACP CPB

3 +m
2
= ,
2 7 3⋅ +m-m2
4
设k=cos2θk>0  ,则1+3k  m2+31-k 
9-21k
m+ =0,
4
进而91-k  2-1+3k  9-21k  ≥0,1 1 3
解得k≥ ,等号当m=- 时取得,因此所求最小值为 .
3 2 3