八省2025年高考综合改革适应性演练联考-数学答案（网络版1）_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年01月试卷

2025年八省高考适应性模拟演练数学 一、单选题： 1. 已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B= ( ) A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {-1,0,1,4} 【答案】C. 2. 函数fx  π =cosx+ 4  的最小正周期是 ( ) π π A. B. C. π D. 2π 4 2 【答案】D. 3. 2-4i= ( ) A. 2 B. 4 C. 2 5 D. 6 【答案】C. 【解析】2-4i= 22+-4  2=2 5.  4. 已知向量a=0,1   ,b=1,0     ,则a⋅a-b  = ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B.    【解析】a⋅a-b  =0,1  ⋅-1,1  =1. y2 5. 双曲线x2- =1的渐近线方程为 ( ) 9 A. y=±x B. y=±2x C. y=±3x D. y=±4x 【答案】C. y2 y2 【解析】双曲线x2- =1的渐近线方程为x2- =0,即y=±3x. 9 9 6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为 ( ) 3 A. π B. π C. 2π D. 3π 3 【答案】A. 1 3 【解析】圆锥的底面半径r=1,母线长l=2,高h= l2-r2= 3,体积V= πr2h= π. 3 3 3 7. 在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC= ,则△ABC的面积为 ( ) 5A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 【答案】C. 4 BC sinA 【解析】注意到sin∠BAC=sinA= = = , 5 AC sinB 因此△ABC是以AC为斜边的直角三角形,直角边长分别为6,8,面积为24. 8. 已知函数fx  =xx-a-2a2.若当x>2时,fx  >0,则a的取值范围是 ( ) A. (-∞,1] B. -2,1  C. -1,2  D. [-1,+∞) 【答案】B. 【解析】根据题意,f2  ≥0,于是22-a-2a2≥0⇔-2≤a≤1, 此时fx  =xx-a  a -2a2,x=2在其对称轴x= 右侧,符合题意, 2 因此a的取值范围是-2,1  . 二、多选题： 9. 已知F2,0  是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则 ( ) A. p=4 B. MF≥OF C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 3 【答案】ABC. 【解析】对于选项A,由F2,0  p 是抛物线C:y2=2px的焦点可得 =2,选项正确; 2 对于选项B,记准线x=-2为l,则MF=dM,l  ≥dO,l  =OF,选项正确; 对于选项C,由MF=dM,l  可得选项正确; 对于选项D,由△OFM的面积为2 3,OF=2,可得M到x轴的距离为2 3,进而MF=4, 从而M点的横坐标为2,于是M2,2 3  ,该点并不在C上,选项错误; 综上所述,正确的选项是ABC. 10.在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数. ex-e-x ex+e-x sinhx 定义双曲正弦函数sinhx= ,双曲余弦函数coshx= ,双曲正切函数tanhx= ,则 2 2 coshx ( ) A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. tanhx+y  tanhx+tanhy = 1+tanhxtanhy 【答案】ACD. 【解析】对于选项A,由于y=ex和y=-e-x均为增函数,选项正确; 对于选项B,由于对任意x∈R,cosh-x  =coshx,选项错误;ex-e-x 2 对于选项C,有tanhx= =1- ,选项正确; ex+e-x e2x+1 tanhx+tanhy ex+e-x+ey+e-y 对于选项D, = 1+tanhx+tanhy ex-e-x 1+  ex-e-y  1+ex ex-e-x =  ey+e-y  +ey-e-y  ex+e-x  ex+e-x  ey+e-y  +ex-e-x  ey-e-y  ex+y+ex-y-ey-x-e-x-y+ex+y+ey-x-ex-y-e-x-y 2ex+y-2e-x-y = = ex+y+ex-y+ey-x+e-x-y+ex+y-ex-y-ey-x+e-x-y 2ex+y+2e-x-y ex+y-e-x-y = =tanhx+y ex+y+e-x-y  ,选项正确; 综上所述,正确的选项是ACD. 11.下面四个绳结中,不能无损地变为如图中的绳结的有 ( ) A. B. C. D. 【答案】ABD. 【解析】把选项C中下方的部分往上翻就可以得到如图中的绳结. 三、填空题 12.已知函数fx  =axa>0,a≠1  ,若fln2  fln4  =8,则a= . 【答案】e. 【解析】由fln2  fln4  =8,可得aln2⋅aln4=8⇒aln2+ln4=8⇔aln8=8⇔a=e. 13.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之 和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 . 3 【答案】 . 56 【解析】8张卡片之和为36,考虑抽出3张卡片上数字之和为18, 则相当于从-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2中选3个数和为0, ①中间数为0,有2种组合； ②中间数为1,有1种组合；3 3 所求概率为 = . C3 56 8 2 14.已知曲线C:y=x3- ,两条直线l ,l 均过坐标原点O,l 和C交于M,N两点,l 和C交于P,Q两点.若 x 1 2 1 2 △OPM的面积为 2,则△MNQ的面积为 . 【答案】2 2. 【解析】注意到曲线C关于原点对称,于是S =2S =2S =2 2. △MNQ △MOQ △OPM 四、解答题 15.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表: 未患病 患病 合计 未服用药物 100 80 S 服用药物 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s,t; (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值； (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效？附: nad-bc χ2=  2 a+b  c+d  a+c  b+d  , Pχ2≥k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】1  4 s=180;t=150;(2) ;(3)可以认为药物A对预防疾病B有效. 9 【解析】(1)根据题意,s=100+80=180;t=80+70=150. 80 4 (2)p的估计值为 = . 100+80 9 (3)零假设H ：药物A对预防疾病B无效 0 400⋅100⋅70-150⋅80 根据卡方计算公式,有χ2=  2 2000 = ≈6.73>6.635, 250⋅150⋅180⋅220 297 于是根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为药物A对预防疾病B有效. 16.已知数列a n  3a 中,a =3,a = n . 1 n+1 a +2 n 1 (1)证明:数列1-  a n  为等比数列； (2)求a n  的通项公式； a (3)令b = n+1 ,证明:b 0恒成立, 1 ∴ 3 3⋅ 2    n -2  单调递减,∴b n  关于n∈N*单调递增,且b <1。 n ∴b 2. 【解析】1)fx  2 =lnx- -x,fx x  1 2 = + -1=2⇒3x+2 x x2  x-1  =0, ∵x>0,∴x=1,故切点为(1,-3),k=2,切线方程为y=2x-5. (2)fx  a b = - -1,∵x=1为fx x x2  的极小值点, ∴f1  =a-b-1=a=b+1 ∴fx  x2-b+1 =-  x+b x-1 =- x2  x-b  x2 ①当b≤0时,x-b>0,令fx  =0⇒x=1 此时当00,fx  单调递增；当x>1时,fx  <0,fx  单调递减, fx  在x=1取得极大值,舍去. ②当b=1时,fx  x-1 =-  2 ≤0,fx x2  在0,+∞  上单调递减,fx  不存在极值, ③当00,fx  单调递增；当x>1时,fx  <0,fx  单调递减 此时,fx  在x=1取得极大值,舍去 ④当b>1时,当00,fx  单调递增；当x>b时,fx  <0,fx  单调递减 此时fx  在x=1取得极小值,符合 综上:b的取值范围为1,+∞  . 1 18.已知椭圆C的离心率为 2 ,左、右焦点分别为F 1-1,0  ,F 21,0  . (1)求C的方程； (2)已知点M 01,4  ,证明:线段FM 的垂直平分线与C恰有一个公共点； 1 0 (3)设M是坐标平面上的动点,且线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该 1 圆的方程. 【答案】 1  x2 y2 + =1;(2)略；(3)x-1 4 3  2+y2=16. x2 y2 【解析】(1)椭圆C的半焦距为1,长半轴长为2,因此C的方程为 + =1. 4 3 (2)记线段FM 的垂直平分线为l,T是直线l上一点, 1 0 则TF 1+TF 2=TM 0+TF 2, 当T在线段F 2 M 0 上时,有TM 0+TF 2=M 0 F 2=4,于是T同时在椭圆C上;当T不在线段F 2 M 0 上时,有 TM 0+TF 2>M 0 F 2=4,于是T在椭圆C外;因此直线l上有且仅有一点在椭圆C上(即与线段F 2 M 0 的交 点),命题得证. (3)设Mx 0 ,y 0  x -1 x -1 情形一:当y =0时,FM的垂直平分线为x= 0 ,此时 0 =±2,x =5或-3 0 1 2 2 0 x +1 x -1 情形二:当y ≠0时,FM的垂直平分线为:y=- 0 x- 0 0 1 y 2 0  y x +1 x2+y2-1 + 0 = 0 x+ 0 0 2 y 2y 0 0 x +1 x2+y2-1   y=- 0 y 0 x+ 0 2y 0 0 ⇒3x2+4 x2 0 +y2 0 -1 3x2+4y2=12  2 - x 0 +1 4y2 0  x2 0 +y2 0 -1  x+ x 0 +1 y2 0  2   x2   y2 0  =12 ∴ 3+ 4x 0 +1  2     y2 0  x2- 4x 0 +1  x2 0 +y2 0 -1  x+ x2 0 +y2 0 -1 y2 0  2 12=0 y2 0 ∵FM的垂直平分线与C恰有一个公共点 1 ∴Δ= 16x 0 +1  2 x2 0 +y2 0 -1  2 -4 3+ 4x 0 +1 y4 0  2     y2 0  x2 0 +y2 0 -1  2   -12   y2 0  =0 ⇒ 3x2 0 +y2 0 -1  2 -36- 48x 0 +1 y2 0  2 =0 y2 0 ⇒y4 0 +2x2 0 -14  y2+x4-18x2-32x -15=0 0 0 0 0 ⇒y4 0 +2x2 0 -14  y2 0 +x 0 +1  2 x 0 +3  x 0 -5  =0 ⇒y4 0 +2x2 0 -14  y2 0 +x2 0 +2x 0 +1  x2 0 -2x 0 -15  =0 y2 0 +x2 0 +2x 0 +1  y2 0 +x2 0 -2x 0 -15  =0 ∵x2 0 +y2 0 +2x 0 +1=x 0 +1  2+y2>0,∴x2+y2-2x -15=0 0 0 0 05,0  ,-3,0  也满足上式, ∴M的轨迹方程为x-1  2+y2=16,它为一个圆 19.在平面四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD沿AC翻折至△ACP, 其中P为动点. (1)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上. ①证明:平面PAC⊥平面ABC; ②求球O的半径; (2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值. 10 3 【答案】(1)① 略；② ；(2) . 2 3 【解析】(1)如图. ①AB⊥AC,AB⊥PC,于是AB⊥PAC,从而面PAC⊥面ABC; ②建立空间直角坐标系A-BCZ,则A0,0,0  ,B1,0,0  ,C0,1,0  3 3 ,P0, , 2 2  , 三棱锥P-ABC的外接球球心O在底面ABC上的投影为△ABC的外心, 1 1 于是设O , ,t 2 2  1 5 3 ,则AO=OP⇒ +t2= +t- 2 2 2  2 3 ⇒t= , 2 10 进而球O的半径为 . 2 (2)根据第(1)小题的结果, 3 设Pm, ,n 2  ,其中m2+n2= 3 即n2= 3 -m2,m∈  - 3 , 3 4 4  2 2  ,  AC=0,1,0 有  ,  1 CP=m, ,n 2  ,  3 PB=1-m,- ,-n 2   n =n,0,-m ⇒ ACP ,  ,  n =2n,2n,-2m-1 CPB         ,   因此二面角A-CP-B的余弦值   n ⋅n 2n2+2m2+m cosθ= ACP CPB =   n ⋅n  m2+n2⋅ 8n2+2m+1 ACP CPB  3 +m 2 = , 2 7 3⋅ +m-m2 4 设k=cos2θk>0  ,则1+3k  m2+31-k  9-21k m+ =0, 4 进而91-k  2-1+3k  9-21k  ≥0,1 1 3 解得k≥ ,等号当m=- 时取得,因此所求最小值为 . 3 2 3