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通州区 2024—2025 学年第一学期高三年级期中质量检测
数学试卷
2024年11月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知角 终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 设 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有 的细沙，细沙从中间小
孔由上方慢慢漏下，经过 时剩余的细沙量为 ，且 （b为常数），经过 时，上方
还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 设集合 ，则（ ）
A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，
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学科网（北京）股份有限公司C. 当且仅当 时， D. 当且仅当 时，
10. 已知 是 的重心，过点 作一条直线与边 ， 分别交于点 ， （点 ， 与所在边
的端点均不重合），设 ， ，则 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域是___________．
12. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为 ，则
________.
13. 已知等差数列 的首项为 ，设其前 项和为 ，且 ，则过点 和 ，且
满足 的直线的斜率是________.
14. 设函数
①若 ，则函数 的零点个数有________个.
②若函数 有最小值，则实数a的取值范围是________.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知无穷数列 满足 ， ，给出下列四个结论：
① ， ；
②数列 为单调递减数列；
③ ，使得 ；
④ ，均有 .
其中正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ， .
（1）求 的最小正周期及 的值；
（2）直线 与函数 ， 图象分别交于 两点，求 的最大值.
的
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
（1）求 及 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求
的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解
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学科网（北京）股份有限公司答计分.
18. 已知 为数列 的前 项和，满足 ， ．数列 是等差数列，且 ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 项和．
19. 设函数 ，若函数 在 处取得极小值8.
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值，以及相应x的值；
（3）证明：曲线 是中心对称图形.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）证明：当 ，曲线 的切线不经过点 ；
（3）当 时，若曲线 与直线 在区间 上有两个不同的交点，求实数a的取值范
围.
21. 已知数列 的通项公式为 （ 表示不超过实数x的最大整数），数列 的通项公式为
.
（1）写出数列 的前6项；
的
（2）试判断 与 是否为数列 中 项，并说明理由；
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学科网（北京）股份有限公司（3）证明：数列 与数列 的公共项有无数多个.
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