文档内容
2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试
数 学 学 科 参 考 答 案
第 I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C C D D B B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9 10 11
ACD ACD AD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
5 2
12. 13. 7 14. 8−
6 2
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.（1）由题意可知 lgx−1 <1⇒−10，设E(x,y ),F(x ,y ),P(m,0)，则x +x =
24k2
,xx =
36k2−3
.
1 1 2 2 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
∠APE=∠OPF ，
y y
k(x −3)(x −m)+k(x −3)(x −m)
∴k +k = 1 + 2 = 1 2 2 1
PE PF x −m x −m (x −m)(x −m)
1 2 1 2
72k2−6 24k2
=k⋅
2x
1
x
2
−(3+m)(x
1
+x
2
)+6m
=k⋅
3+4k2 −(3+m)⋅ 3+4k2 +6m
(x −m)(x −m) (x −m)(x −m)
1 2 1 2
72k2−6−72k2−24mk2+18m+24mk2
=k⋅
(x −m)(x −m)⋅ ( 3+4k2)
=0.
1 2
1
∴18m−6=0,∴m= .
3
存在P点满足条件.
1
∴P点坐标为 ,0.
3
18.（1）因为点N 为线段AD的中点，且EA=ED，
所以AD⊥EN，
因为EF∥AB，且四边形ABCD为正方形，故AD⊥AB，
所以AD⊥EF ，而ENEF =E,EN,EF ⊂平面EFN，
故AD⊥平面EFN，又FN ⊂平面EFN，
所以AD⊥FN；
（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取AB,BC,EF的中点为P,Q,S，
设点H为线段AD的中点，由（1）知E,F,H,Q四点共面，且AD⊥平面EFH ，
连接OS，OS⊂平面EFH ，故AD⊥OS，
又AD⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面EHQF，
且平面ABCD∩平面EHQF =HQ，
学科网（北京）股份有限公司由题意可知四边形EHQF为等腰梯形，故OS ⊥HQ，
OS⊂平面EHQF，故OS ⊥平面ABCD，
故以O为坐标原点，OP,OQ,OS为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
因为AB=4，则A(2,−2,0),B(2,2,0),C(−2,2,0),D(−2,−2,0)，又AB=2EF，故EF =2，
设EF到底面ABCD的距离为h，
四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且EF∥AB，
故E(0,−1,h),F(0,1,h)，又EA=ED=FB=FC =3，
故 22+12+h2 =3,∴h=2，则E(0,−1,2),F(0,1,2)，
AE=(−2,1,2),AD=(−4,0,0),BF =(−2,−1,2),BA=(0,−4,0)，
设AN =λAD,λ∈[ 0,1 ] ,∴BN =BA+AN =BA+λAD=(−4λ,−4,0)，
设平面BFN的一个法向量为n=(x,y,z)，
n⋅BF =−2x−y+2z=0
则 ，令x=2，∴n=(2,−2λ,2−λ)，
n⋅BN =−4λx−4y=0
设平面ADE的一个法向量为m=(a,b,c)，
m⋅AD=−4a=0
则 ，令c=1，∴m=(0,−2,1)，
m⋅AE=−2a+b+2c=0
2
2
λ+
故 m⋅n 3λ+2 3 3 ，
cosn,m = = =
m⋅ n 5× 5λ2−4λ+8 5 5λ2−4λ+8
3 m2
2 2 5 cosn,m=
令m=λ+ 3 ,m∈ 3 , 3 ，则 5 5m2− 32 m+ 116 ，
3 9
3 1
1 3 3 cosn,m=
令t = m ,t∈ 5 , 2 ，则 5 116 t2− 32 t+5 ，
9 3
学科网（北京）股份有限公司116 32 3 3
令 f (t)= t2− t+5，则 f (t)在 , 上单调递增，
9 3 5 2
故当t= 3 时， f (t) = f 3 = 81 ，当t= 3 时， f (t) = f 3 =18，
5 min 5 25 2 max 2
10 5
故cosn,m∈ , ，
10 3
10 5
即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为 , ．
10 3
x2
(2x)2 (2y)2 −y2 =1
19.（1）由条件得 − =1 ，得C ： 9 ；
2
9 4
4
（2）∵C 、C 关于原点“伸缩变换”，对C 作变换(x,y)→(λx,λy)（λ>0），得到C
λ2x2
+
λ2y2
=1，
2 1 1 2 16 4
2
y= x(x≥0)
2 4 3 2 6
解方程组 得点A的坐标为
,
；
x2 y2 3 3
+ =1
16
4
2
y= x(x≥0)
2 4 3 2 6
解方程组 得B点的坐标为
,
；
λ2x2 λ2y2 3λ 3λ
+ =1
16 4
2 2
4 3 4 3 2 6 2 6 2 2λ−1
AB = − + − = = 2，
3λ 3 3λ 3 λ
2
化简后得3λ2−8λ+4=0，解得λ=2，λ = ，
1 2 3
x2 x2 y2
因此椭圆C 的方程为 +y2 =1或 + =1.
2
4 36 9
2p
（3）对C ：y2 =2p x作变换(x,y)→(λx,λy)得抛物线C ：(λy)2 =2pλx，得y2 = n x，
n n n n n+1 n n n λ
n
p p 1
又∵y2 =2p x，∴p = n ，即 n+1 = =2n，
n+1 n+1 λ p λ
n n n
p 2 ⋅ p 3 ⋅ p 4 ⋅⋅⋅⋅⋅ p n−1 ⋅ p n =2⋅22⋅23⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n−1，则 p n =21+2+3+⋅⋅⋅+(n−1) =2 1 2 n(n−1) ，
p p p p p p
1 2 3 n−2 n−1 1
∵p 1 =1，∴ p =2 1 2 n(n−1) .
n
20.（1）X 可取值10,20,30,,，Y可取值10,20,,1000，
k
当X =k时，摸球次数为 ，没有抽中新皮肤的概率为1− p ，
10 1
学科网（北京）股份有限公司故 P(X =k)=(1− p ) 1 k 0 −1 p ， k ∈N*，
1 1 10
(1− p ) 1 k 0 −1 p , k ∈N*,k ≤990
P(Y =k)= 2 2 10 ．
(1− p 2 )99 ,k =1000
n
（2）令A=∑t(1− p )t−1，
1
t=1
n
则(1− p )A=∑t(1− p )t，故p A=1+(1− p )+(1− p )2+(1− p )n−1−n(1− p )n，
1 1 1 1 1 1 1
t=1
1−(1− p )n
整理得到p A= 1 −n(1− p )n，
1 p 1
1
所以 A= 1−(1− p 1 )n − n(1− p 1 )n ，
p2 p
1 1
k
若玩家按方案一抽卡，花费k元时抽到皮肤，则抽取次数为 ，
10
而 P(X =s)= p (1− p ) 1 s 0 −1，其中 s ∈N*，s≤k.
1 1 10
k k
则 E(X)=∑ 10 s(1− p ) 1 s 0 −1 p =10p ∑ 10 s (1− p ) 1 s 0 −1
1 1 1 10 1
s=1 s=1
k
=10 1−(1− p 1 ) 10 −k(1− p ) 1 k 0 ，
p 1
1
因为玩家按方案一抽卡次数无限制，
k k
且当n→+∞时， k(1− p ) 10 →0 ，(1− p ) 10 →0 ，
1 1
10
所以E(X)=
.
p
1
（3）p =2p =0.02，即p =0.02,p =0.01，
1 2 1 2
10
由（2）可得故E(X)= =500；
0.02
若玩家按方案二抽卡，则Y可取值10,20,,1000，
i
且 P(Y =i)=0.01×0.9910 −1，其中i=10,20,,990，
P(Y =1000)=0.9999，
99
故E(Y)=1000×0.9999+10∑( k×0.01×0.99k−1)
，
k=1
学科网（北京）股份有限公司99
=0.1×∑( k×0.99k−1)
k=1
1−0.9999 99×0.9999
=0.1× − +1000×0.9999
0.012 0.01
=1000 ( 1−0.9999) −990×0.9999+1000×0.9999
=1000−990×0.9999
0.37
≈1000−990⋅ ≈630
0.99
因为E(X)
