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四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测
文科数学答案解析与评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的交集运算等
基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
【解析】集合A=x|-10)，由a =2，S =26得2+2q+2q2=26，解得q=3，q
1 3
=-4（舍去），所以数列 a
n
的通项公式为a =2⋅3n-1．
n
6．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性
质等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，考查数学运算等数学核心素养。
3 3
【解析】该双曲线的渐近线方程为y=± x，则 = 3，可解得a=-1．
a+2 a+2
7．【答案】B
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知
识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。
3 4 n+1
【解析】易知程序框图的功能是求S=lg2+lg +lg +⋯+lg =lgn+1
2 3 n
，由S=lgn+1
文科数学第1页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}≥2得n≥99，所以输出n=99．
8．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数
的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心
素养。
2
【解析】依题意，a=log π>1；b=log 3，且0b>c．
3 4 2
9．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数、幂函数构成的复合型函数为载体，主要
考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想，考查直观想象、
逻辑推理等数学核心素养。
2-x-1 1-2x 2x-1
【解析】依题意，f(-x)= ⋅(-x3+3x)= ⋅(-x3+3x)= ⋅(x3-3x)=
2-x+1 1+2x 2x+1
2x-1
f(x)，可知 f(x)为偶函数，排除C，D；当x>0时， >0，若0 3时，x3-3x>0，则 f(x)<0，B不符题意，故选A．
10．【答案】C
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数的图象与
性质等基础知识；考查数形结合思想，考查数学运算素养、逻辑推理等数学核心素养。
π
【解析】函数 y= 3sinωx+cosωx=2sinωx+
6
π
图象向左平移 个单位长度后，得 y=
6
π π π π π π
2sin[ω(x+ )+ ]的图象，由已知得2sin[ω(x+ )+ ]=2cos(ωx+ )，所以sin[ω(x+ )+
6 6 6 6 6 6
π π ωπ π
]=cos(ωx+ )，所以 =2kπ+ ，k∈Z，所以ω=12k+3，k∈Z，因为ω>0，所以ω的最
6 6 6 2
小值为3．
11．【答案】D
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体及其截面的主要考查空间点、线、面
位置关系等基础知识，主要考查直观想象、推理论证等数学核心素养。
【解析】对于A，易知平面α为平面AB D 或与其平行的平面，故M只能为三角形或六边
1 1
形 ，A，B 均错误 ；对于 C，当 M 为三角形时 ，周长最大值为 3 2 ，M 为六边形时 ，
LP⎳KO⎳MN，设KD=x，则AK=1-x，KL= 2(1-x)，KM= 2x，周长为3[ 2(1-x)+
2x]=3 2，故M的周长的最大值为3 2，C错误；对于D，很明显，当M为六边形时，面积最
6
大，该六边形可由两个等腰梯形构成，KO= 2，两个等腰梯形的高分别为 1-x
2
6
， x，
2
1
则S = 2x+ 2
四边形LKOP 2
6
⋅ 1-x
2
1
+ 21-x
2
+ 2
6 3
⋅ x= (-2x2+2x+1)=
2 2
1 2 3 3 1
- 3(x- ) + ，当且仅当x= 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最
2 4 2
大．
P
文科数学第2页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}12．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考
查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等
思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】依题意，f(x)=(x+2)ex，可知x<-2时，f(x)<0，f(x)单调递减，x>-2时，f(x)>
0，f(x)单调递增；又g(x)=lnx+2，0e-2时，g(x)>0，
g(x)单调递增．因为 f(x )=g(x )=t(t>0)，所以(x +1)e x 1=x (lnx +1)=t(t>0)，可知x >-1，
1 2 1 2 2 1
1 1+lnt 1+lnt 1+lnt 1+lnt
x > ，且x =lnx ，所以 = = ，令h(t)= (t>0)，则h(t)
2 e 1 2 (x +1)2x2 (lnx +1)2x2 t2 t2
1 2 2 2
-1-2lnt -1 -1 -1 -1
= ，当00，当t>e 2，h(t)<0，故t=e 2 时，h(t)取极大值h(e 2)
t3
e
= ，也即为最大值．
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】1- 3i
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查
化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。
4 4
【解析】 = =1- 3i．
z 1+ 3i
14．【答案】26
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前n项和等基础知识；
考查数学运算等数学核心素养。
【解析】因为a
n
为等差数列，由a -a +a =2可得a -a +a =2，所以a =2，则S =
4 8 11 7 8 8 7 13
13a +a
1 13
=13a =26．
2 7
4 2
15．【答案】
3
【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成
的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、
数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】如图，取 AB 的中点 F，连接 DF 交 AE 于点 H．由翻折前后的不变性可知，
PH⏊AE；易知四边形DEFA为正方形，则DF⏊AE．因此，当平面PAE⏊平面ABCE时，PH⏊
1 4 2
平面ABCD．由题意可知，S =4，V = × 2×4= ．
△ABC 三棱锥P-ABC 3 3
16．【答案】(±2，1)
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定
义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与
转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
文科数学第3页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}x2
【解析】如图，设 M(x ， 0 )，设 AB 与 MC 交于 H．根据圆的性质，有 AB ⏊ MC，且在
0 4
Rt△ACM中， AH ∙ MC = AC ∙ MA =2MA =2 CM2-4，而 AB =2AH ，则 AB ∙ MC =
2AH ∙ MC = 4 CM2-4 ，所 以 ，当 CM 最 小 时 ， AB ∙ MC 最 小 ． 而 CM =
x -0
0
x2
2+ 0 -3
4
2 x4 x2 1
= 0 - 0 +9 = x2-4
16 2 16 0
2+8，当且仅当x2=4时，取得最小值，
0
此时M(±2，1)．
y
A
C
H M
B
x
O
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主
要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等
数学核心素养。
【解析】（1）因为a，b，c是公差为0.01的等差数列，
所以(a+b+c)×5=(3a+0.01×3)×5=1-(0.02+0.02+0.01)×5，
解得a=0.04，b=0.05，a=0.06．2分
（2）因为高度位于区间[20,30)的频率为(0.02+0.05)×5=0.35，位于区间[35，50)的频
率为(0.04+0.02+0.01)×5=0.35，
所以，果苗高度的中位数是区间[30,35)的中点，即为32.5cm．4分
由频率分布直方图得，该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
h=0.02×5×22.5+0.05×5×27.5+0.06×5×32.5+0.04×5×37.5+0.02×5×42.5
+0.01×5×47.5 =33(cm)． 8分
（3）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45)的频率为：
(0.06+0.04+0.02)×5=0.6，
所以，估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45)的概率为0.6．
12分
18．（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，角
平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素
养。
文科数学第4页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}【解析】
（1）解法一：
1
由 c+b=acosC及正弦定理，
2
1
可得 sinC+sinB=sinAcosC． 2分
2
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
1
所以 sinC+cosAsinC=0．4分
2
1
又在△ABC中，sinC≠0，故cosA=- ，
2
2π
所以A= ． 6分
3
1
解法二：由 c+b=acosC及余弦定理，
2
1 a2+b2-c2
可得 c+b=a⋅ ．2分
2 2ab
即b2+c2-a2=-bc，4分
b2+c2-a2 1
所以cosA= =- ．
2bc 2
2π
故A= ． 6分
3
2π π
（2）由（1）知∠BAC= ，∠BAD=∠DAC= ．
3 3
又b=3，c=5，S =S +S ，9分
△ABC △ABD △ACD
1 2π 1 π 1 π
所以 bcsin = c⋅AD⋅sin + b⋅AD⋅sin ．
2 3 2 3 2 3
15
所以AD= ． 12分
8
说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点D作AC的平行线交AB于点E，则△ADE为
x 5-x 15
等边三角形（边长为x），于是 = ，解得x= ．
3 5 8
19．（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考
查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等
思想方法，考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）因为平面PAD⏊平面PCD，AD⏊PD，
所以AD⏊平面PCD．
又AD⎳BC，
所以，BC⏊平面PCD．4分
文科数学第5页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}（2）
由（1）可知，AD⏊平面PCD，即平面ABCD⏊平面PCD．
过P作直线CD的垂线，垂足为H，
则PH⏊平面ABCD．
由已知，∠CPD=∠DCP=30°，PD=2，则∠PDC=120°，PH= 3，PA=2 2，AB=2 2．
显然，△PBC为直角三角形，
则PB2=BC2+PC2，PB=2 7．8分
1
易知，∠DAB=135°，所以S = ×2×2 2×sin135°=2，S = 7．
△DAB 2 △PAB
设点D到平面PAB的距离为h，由V =V ，
D-PAB P-ABD
1 1
则 ∙S ∙h= ∙S ∙PH，
3 △PAB 3 △DAB
2 21
解得h= ． 12分
7
20．（12分）
【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，主要考查不等式、函数零点问题，考查
函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查数学抽象、逻
辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）当a=1，函数 f(x)=x2+x-lnx-1(x>0)．
1 2x2+x-1 (2x-1)(x+1)
则 f(x)=2x+1- = = ，2分
x x x
1 1
可知当0 时，f(x)>0，f(x)单调递增．
2 2
1 1 1
则当x= 时，f(x)取得极小值 f( )=ln2- ，也即为最小值．
2 2 4
1
所以 f(x)的最小值为ln2- ．5分
4
（2）由已知，x ，x 是 f(x)=ax2+x-lnx-a的两个零点．
1 2
则ax2+x -lnx -a=0，ax2+x -lnx -a=0，两式相减，得
1 1 1 2 2 2
a(x +x )(x -x )+(x -x )-(lnx -lnx )=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
lnx -lnx
整理得a(x +x )= 1 2 -1． 8分
1 2 x -x
1 2
欲证明a(x +x )2+(x +x )>2，
1 2 1 2
lnx -lnx
只需证明不等式 ( 1 2 -1)(x +x )+(x +x )>2，
x -x 1 2 1 2
1 2
x
ln 1
lnx -lnx x x
即证明 1 2(x +x )>2，也即证明 2 ( 1 +1)>2．
x -x 1 2 x x
1 2 1 -1 2
x
2
文科数学第6页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}x
不妨设02，即证明(t+1)lnt-2(t-1)<0(0h(1)=0．
故当02得证． 12分
1 2 1 2
21．（12分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆
的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转
化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
3 4 3
【解析】（1）由题意，曲线C的离心率e= ，d= -x
2 3 0
．
x2 4-x2
显然， 0 +y2=1，即y2= 0 ．
4 0 0 4
又因为 MF
|MF|
= (x - 3)2+y2，所以
0 0 d
2 x - 3
= 0
2+y2
0
4 3
-x
3 0
x - 3 0
=
2
4-x2
2+ 0 4
4 3
-x
3 0
=
2
3
，
4
MF
故
3 MF
= ，即
d 2
=e．4分
d
（2）设点P，Q的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )．
1 1 2 2
由题意，当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x=ty+ 3．
x=ty+ 3，
联立方程组 x2 消去x并整理得，(t2+4)y2+2 3ty-1=0．
+y2=1，
4
此方程有两个不等实根，分别为y ，y ，且满足
1 2
2 3t 1
y +y =- ，y y =- ． 7分
1 2 t2+4 1 2 t2+4
4 3
由已知，点R的坐标为 ，y
3 1
y -y 4 3
，则直线QR的方程为y= 1 2 (x- )+y ．
4 3 3 1
-x
3 2
根据椭圆的对称性可知，如果直线QR过定点，则此定点一定在x轴上．
4 3
x y - y
4 3 2 1 3 1
令y=0，可得x- = ．9分
3 y -y
1 2
2 3t
而x =ty + 3，y +y =- ，所以
2 2 1 2 t2+4
4 3 3 t 3
x y - y ty y - y - - y
4 3 2 1 3 1 1 2 3 1 t2+4 3 1 1 3
x- = = = =- =- ．
3 y -y y -y 2 3t 2 3 6
1 2 1 2 2y +
1 t2+4
7 3
此时，x= 为定值．11分
6
7 3
当直线PQ的斜率为0时，直线QR与直线PQ重合，必然过点( ，0)．
6
7 3
综上，直线QR过定点，定点的坐标为( ，0)．12分
6
文科数学第7页，共8页
{#{QQABbYCAggggAgAAAQhCQwEYCEGQkBCAAAoOBEAAoAAByQNABAA=}#}（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程（] 10分）
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，直线
与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化、数形结合等思想方法；考查数学运算、推理论
证、直观想象等数学核心素养。
【解析】
2
x=-2+ t，
2
（1）直线l的一个参数方程为 （t为参数）．2分
2
y=-4+ t
2
由上，直线l与x轴的交点坐标Q2，0 ． 3分
所以，圆Q的极坐标方程为ρ=4cosθ． 5分
（2）由（1）可知，直线l的倾斜角为45°，圆Q的圆心为Q2，0 ，半径为2．
如图，易知y =- 2，y = 2， OQ
M N
=2，7分
1
所以△MON的面积S= OQ
2
y -y
M N
1
= ×2×2 2=2 2．10分
2
1
说明：本小题亦可用几何关系求出点O到直线l的距离d，用 dMN
2
求出面积；还可在直
角坐标系内用普通方程、在极坐标系内求出点M，N的坐标求解。
23．[选修4－5：不等式选讲（] 10分）
【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基
础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】（1）当x<-1时，f(x)=-3x+1≤5-x，解得-2≤x<-1；
当-1≤x≤1，f(x)=-x+3≤5-x，得-1≤x≤1；
3
当x>1时，f(x)=3x-1≤5-x，可得-1≤x≤ ．
2
3
综上所述，f(x)≤5-x的解集为{x|-2≤x≤ }．5分
2
（2）由（1）知，x<-1时，f(x)=-3x+1>4；-1≤x≤1时，f(x)=-x+3≥2；x>1时，
f(x)=3x-1>2，则 f(x)的最小值为2，即M=2．
故a+b=2，0
