文档内容
2024～2025 学年高二 10 月质量检测卷
数学（B 卷）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知直线 经过 ， 两点，则 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ， ， 三点共线，则 （ ）
.
A B. C. D.
3. 在长方体 中， 为棱 的中点.若 ，则 等于（ ）A. B.
.
C D.
4. 两平行直线 ： ， ： 之间的距离为（ ）
A. B. 3 C. D.
5. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
.
C D.
6. 已知平面 的一个法向量 ， 是平面 内一点， 是平面 外一点，则点
到平面 的距离是（ ）
A. B. C. D. 3
7. 如图，在四棱锥 中，PD 底面 ，底面 为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一
点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8. 在正三棱柱 中， ， ， ， 为棱 上的动点， 为线段上的动点，且 ，则线段 长度的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B. 若 ，则 ， 的夹角是锐角
的
C. 不相等 两个空间向量的模可能相等
D. 若 ， 是两个不共线的向量，且 且 ，则 构成空间的一个基
底
10. 已知直线 ，直线 ，则（ ）
A. 当 时， 与 的交点为
B. 直线 恒过点
C. 若 ，则
D. 存在 ，使
11. 在平行六面体 中， ， ，若
，其中 ， ， ，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点 在平面 内，则 B. 若 ，则C. 当 时，三棱锥 体积为 D. 当 时， 长度的最小值为
的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线 与直线 垂直，且它在 轴上的截距为4，则直线 的方程为______．
13. 在空间直角坐标系 中，已知 ，则三棱锥 的体积为
_________．
14. 在 中，顶点 ，点 在直线 上，点 在 轴上，则 周长的最小
值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在梯形 中， ， ，已知 ， ， ．
（1）求点 的坐标；
（2）求梯形 的面积．
16. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中 是圆锥的高， 是圆锥底面的一条直径， ，
， 是 的中点．
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．17. 如图，在长方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ，
， ， 的中点.
（1）证明： ， ， ， 四点共面；
（2）若点 在棱 ，且 平面 ，求 的长度.
18. 如图，四边形 是直角梯形， 为 的中点，
是平面 外一点， 是线段 上一点，三棱锥 的体积是 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19. 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任
意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面
三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球 的半径为 ， ， ， 为球面上三点，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角 ， ， 分别为 ，
， ，则球面三角形 的面积为 .
（1）若平面 ，平面 ，平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
（2）将图1中四面体 截出得到图2，若平面三角形 为直角三角形， ，设
， ， .
①证明： ；
②延长 与球 交于点 ，连接 ， ，若直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ，
且 ， ， 为 的中点， 为 的中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求
的最小值.2024～2025 学年高二 10 月质量检测卷
数学（B 卷）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2） ．
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【18题答案】【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
