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东风中学校高 2022 级 12 月月考试题
数学试卷
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.）
.
1 已知集合 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. D. 或1
2. 为虚数单位，复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分出不必要条件
4. 已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的 倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥
与圆柱的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 若曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
的
6. 在 中， 边上 中线 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 已知数列 的首项 ，前n项和 ，满足 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8. 已知定义在[ ， ]上的函数 满足 ，且当x [ ，1]时， ，若方程
有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. ( ， ] B. ( ， ]
C. ( ， ] D. ( ， ]
二､多选题（本题共3个小题，每个小题6分，共计18分，在每小题给出的选项中，有多要
符合题目要求，全部远对的每6分，部分远对的得部分分有选错的得0分）
9. 已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 在抛物线 上，若 ，则（
）
A. 的坐标为 B.
C. D.
10. 从 中随机取一个数记为 ，从 中随机取一个数记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件“ 为偶数”的概率为
B. 事件“ 为偶数”的概率为
C. 设 ，则 的数学期望为
D. 设 ，则在 的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
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学科网（北京）股份有限公司11. 在直棱柱 中，底面 为正方形， 为线段 上动点，
分别为 和 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 ，则 三线交于一点
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 直线 与 所成角的余弦值为
D. 的最小值为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中的横线上）
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
13. 若数列 满足 ，其前 项和 为，若 ，则 __________.
14. 设双曲线 （ ）的右顶点为F，且F是抛物线 的焦点．过点F的
直线l与抛物线 交于A，B两点，满足 ，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
__________．
四､解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，正四棱柱 中， 为 的中点， ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
16. 已知函数 的图象关于点 中心对称.
（1）求 、 的值；
（2）若 ，当 时， 的最小值为 ，求 的值.
17. 中，设角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 的周长等于3，求 的面积的最大值.
18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生
产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的
列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前 45 15 60
调试后 35 5 40
合计 80 20 100
（1）根据表中数据，依据 的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件
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学科网（北京）股份有限公司产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数
为 ，求使事件“ ”的概率最大时 的取值.
参考公式及数据： ，其中 .
0.025 0.01 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
19. 已知 是首项为 的等差数列，其前 项和为 ， ， 为等比数列， ，
．
（1）求 和 通的项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
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