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常州市教育学会学业水平监测
高三数学 2023 年 11 月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．i是虚数单位，复数 在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一
的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测如下：
学科网（北京）股份有限公司“甲或乙是冠军”、“甲是冠军”、“丁是冠军”、“乙、丙两人都不是冠军”．
若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知四棱台 的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直若
，棱台的体积为 ，则该棱台的表面积是（ ）
B． C． D．
A．60
7．已知函数 ，点 分别为 图象在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，
为坐标原点，若 为锐角三角形，则 的取值范围为（ ）
В． C． D．
A．
8.．居民的某疾病发病率为 ，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有
该疾病的人其化验结果 呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果 呈阳性．现有某人的化验结果呈阳
性，则他真的患该疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，且 ，则（ ）
A．
B． C． D．
10．某高校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生每天自主学习中国古典文学的
时间，随机调查了40名男生和50名女生，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3小时的学生称为
“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表，则（ ）
古文
非古文迷
迷
学科网（北京）股份有限公司男生 20 20
女生 40 10
参考公式： ，其中 ．参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
A．该校某位学生为古文迷的概率的估计值为0.6
B．随机调查的男女生人数符合分层抽样的抽样方法
C．有 的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系
D．没有 的把握认为学生是否为“古文迷”与性别有关系
11．设 内角 所对的边为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
，则可能有 D．若 ，则可能有
C．若
12．已知 为圆柱的母线， 为圆柱底面圆的直径，且 为 的中点，点 在底面圆
周上运动（不与点 重合），则（ ）
A．平面 平面
B．当 时，点 沿圆柱表面到点 的最短距离是
C．三棱锥 的体积最大值是
与平面 所成角的正切值的最大值是
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每
本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答）
14．在提醒 中，已知 ，点 分别在线段 和
学科网（北京）股份有限公司上，则 的最大值为_________．
15．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_________．
16．在平面凸四边形 中， ，且 ，将四边形
沿对角线 折起，使点 到达点 的位置．若二面角 的大小范围是 ，则三
棱锥 的外接球表面积的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了 的一组数据如下表所示：
2 3 4 5 6 7
2
52.5 45 40 30 17.5
5
该社团对上述数据进行了分析，发现 与 之间具有线性相关关系．
附：在线性回归方程 中， ，其中 为样本平均值．
（1）画出表中数据的散点图，并指出 与 之间的相关系数 是正还是负；
（2）求出 关于 的线性回归方程，并写出当 时，预测数据 的值．
18．（12分）已知 中， ，点 在边 上， 三等分 ， 靠近
靠近 ．
（1）若 ，且 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
19．（12分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）对于 ，使得 ，求实数 的取值范围．
20．（12分）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面
学科网（北京）股份有限公司是红色一面是黑色．
（1）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也
是红色的概率是多少？
（2）随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色．
两次展示的颜色中，黑色的次数记为X，求随机变量X的分布和数学期望．
21．（12 分）已知三棱柱 ， ， ，
为线段 上的点，且满足 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）设平面 平面 ，已知二面角 的正弦值为 ，求 的值．
22．（12分）已知函数 的部分图象如图所示．将函数 的图
象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），得到函数 的图象．
学科网（北京）股份有限公司（1）求函数 的解析式，并直接写出函数 的解析式；
（2）若 在 内恰有2023个零点，求实数 与正整数 的值．
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高三数学
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．.
1．【答案】C
【解析】 ， ，选C．
2．【答案】A
【解析】 位于第一象限，选A．
3．【答案】D
【解析】 为奇函数关于原点对称，排除BC， 时， ，排除A，选D．
4．【答案】D
【解析】若甲是冠军，则三位预测正确，A错．
若乙是冠军，则一位预测正确，B错．
若丙是冠军，则没人预测正确，C错．
若丁是冠军，则两人预测正确，D对，选D．
5．【答案】A
【解析】 ，则 ，则 ，A对．
学科网（北京）股份有限公司，В错．
，C错， ，D错，选A．
6．【答案】D
【解析】 ， ， ， ，
侧棱 ， ，
， ，选D．
7．【答案】B
【解析】 为锐角三角形， ，
恒成立； ， ，
，选B．
8．【答案】C
【 解 析 】 记 “ 阳 性 ” 为 ， 记 “ 患 病 ” 为 ， ， ，
， ，
， ，
选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】AD
【解析】 ， ， ， ，D对，C错．
学科网（北京）股份有限公司，A对．
，B错．
本题考查知识点：三次函数韦达定理：
有三个零点 ，则 ，
．
10．【答案】BC
【解析】 ，A错．
，B对．
，C对，D错，选BC．
11．【答案】ABD
【解析】 ，则 ， ，
A对．
，
，B对．
，则 ，即 ，则 与 矛盾，C错．
，则 ，不妨设 ，则 ，D对．选ABD．
12．【答案】AB
学科网（北京）股份有限公司【解析】 在以 为直径的圆上， ，又 面 ，
面 面 ，A对．
时， 为半圆中点，展开后 ， ，B对．
到面 的距离为2， ， ，C错．
为直径作 为另一条直径， 为面 的直径，以 中点建系，面 的法向量的
， ， ，
设 与面 所成的角为 ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司， 最大值不是 ，D错，选AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】216
【解析】5本书送4人共有 ，甲，乙送一人有 个结果， ．
14．【答案】3
【解析】如图建系， ， ，
设 ，令 ， ，
．
15．【答案】
【解析】 ，
，
在 ， ， ， ．
在 ， ， 时， ； 时， ；
， ， 有两个根 ．
学科网（北京）股份有限公司16．【答案】
【解析】 ，
利用双距离单交线公式， 外心 到 的距离 ，
的外心 到 的距离 交线 ，
设二面角 平面角为 ，外接球半径为 ，
，
，
三棱锥 外接球的表面积 ．
应填：
学科网（北京）股份有限公司注：第16题考得是进阶班第二讲外接球的公式，双距离单交线公式的运用．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1） 是负．
（2）
，∴关于 线性回归方程为
当 时， ．
18．【解析】
（1） ，
在 中， ，
．
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ， ，故 ，
在 中，由正弦定理
，
在 中，由正弦定理 ，
．
在 中，
，
．
19．【解析】
（1） ，
①当 时， 在 上 ；
②当 时，令 ．
且当 时， ；当 时， ．
（2） 对 恒成立．
①当 时， ，舍去．
学科网（北京）股份有限公司②当 时， 在 上，故只需 符合．
综上： ．
20．【解析】
（1）记事件 为展示的一面颜色是红色，事件 为剩下一面的颜色也是红色
，
．
（2）随机抽出一张卡片，颜色是黑色的概率为 ，
的二项分布 的所有可能取值为0，1，2
， ， ，
的分布列如下：
0 1 2
或由 ．
21．【解析】
（1）过 分别作 交 于点 交 于点 ，
且 ，
，∴四边形 为平行四边形， 平面 ．
（2） ，
学科网（北京）股份有限公司，
， ， ．
（3）取 中点 ，连接 为等边三角形且 ， ．
在 中， ，由
在 中， 为 中点， ， ，
如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系．
．
，又 ， ，
，
设平面 的一个法向量 ，
学科网（北京）股份有限公司而平面 的一个法向量
， 或 ．
22．【解析】
（1）由图象知 周期 ，且
．
再由 ，
．
（2）
令 两根记为 ，其中 ，
作出 在 上的大致图象如下：
显然 中有一个为 或1．
学科网（北京）股份有限公司①当 时 ，此时 ，当 为偶数时， 有 个交点， 有 个交点，此时
舍去．
当 为奇数时， 有 个解， 有 个解，有 ，舍去．
②当 时， ，此时 ．
当 为偶数时， 有 个交点， 有 个交点，此时 舍去．
当 为奇数时， 有 个解， 有 个解．
，故 ．
学科网（北京）股份有限公司
