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宜宾市普通高中 2022 级第一次诊断性测试
数学参考答案及评分意见
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 A B C C A C D B ABC AC BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分） D 1 C 1
A B
（1）证明：连结 ，在 中， ， 1 1
， ， ， M
所以 ，于是 ，
D
同理可证 ，又 C
O
A
所以 平面 ，又 平面 ， B
所以平面 平面 ；··························································· 6分
（2）解：取 的中点 ，连结 ，
因为 ，
所以， ，
所以平面 与平面 的夹角为 ，····································10分
在 中， ， ，
所以， ··························································· 12分
平面 与平面 的夹角的余弦值 ．··················································· 13分
16．（15分）
解：（1）该射手恰好命中一次的概率
··········································6分
（2）该射手的总得分 的所有可能取值为：0，1，2，3，4····················7分
所以
一诊数学参考答案第1页共5页一诊数学参考答案第1页共5页
···································································12分
于是， 的分布列为
··································································································· 13分
所以， ··························15分
17．（15分）
解：（1） ······3分
所以
即 ，··········································································4分
又因为 ，所以 ···············································6分
所以 ······················································································7分
（2）在 中， ，即
所以 ， ··························································9分
所以 ·····························10分
因为 ，所以 ， ···································12分
设 ，于是 ···················14分
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可得： ·····································································15分
法二 由余弦定理可知： ，由几何图形可知（ ）
所以 易得 ．
18．（17分）
{a
=
1 ¿{b
=
2
¿¿¿¿
¿
解：（1）由题可得 解得
¿
y2
故双曲线方程为x2 − =1.................................................................................4分
4
（2）①设直线l 的方程为： ， A(x ,y ),B(x ,y ),Q(x ,y )
1 1 1 2 2 3 3
{x
=
my
+
√5¿¿¿¿
联立方程 可得 ......
(4m2 −1)y2 +8√5my+16=0 (¿)
{ 8√5m
y +y =− ¿¿¿¿
且
1 2 2
4m −1
Δ=320m2 −64(4m2 −1)=64m2 +64>0, 4m2 −1≠0
故y =
y
1
+y
2 =−
4√5m
,x =my +√5=
−√5
...............................6分
3 2 4m2 −1 3 3 4m2 −1
由于直线l 与双曲线的左右两支相交，所以方程(¿)有两个同号的实根
1
16
y y = >0⇒4m2 −1>0
故 1 2 4m2 −1
y y
由 三点共线得： 0 = M =4m...........(i)
O,Q,M x x
0 M
y −0 1
由 得: M ⋅ =−1 ...........(ii)
MF⊥l x −√5 m
1 M
1 4m
( )
M ,
由(i).(ii)解得： ............................................................................9分
√5 √5
显然点M 的横坐标为定值，纵坐标随 变化而变化
故点 过定直线 ···················································10分
M
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②由
⃗MN= ⃗MA+ ⃗MB可知，四边形MANB是平行四边形，
1 4m2
| − −√5|
所以 ， d = √5 √5 = 4 √1+m2
S MANB =2S Δ =d M−l |AB| M−l 1 √1+m2 √5
MAB 1
8√1+m2 8（m2 +1)
|AB|= √1+m2 |y −y |= √1+m2 ⋅ = ，因为
1 2 |4m2 −1| 4m2 −1 4m2 −1>0
4
8(1+m2)
S = √1+m2 ⋅ . ................................................................................13
MANB √5 4m2 −1
分
令 ，则
t= √1+m2,m2 =t2 −1,t>1
4 5
令 f (t)= − (t>1)
t t3
则
所以 在 单调递增，在 单调递减，
f (t)
故 ..............................................................................15分
此时四边形 面积取到最小值为 ，
当且仅当 时取等号. ..... ...................... ...................................17
分
19．（17分）
解：（1）当 时， .
所以u'(x)<0⇒x>1，u'(x)>0⇒02，此时 f '(1)=2g(1)<0 ...........................................................................................7分
注意到当x→+∞时f '(x)→+∞，故f '(x)=0在(1,+∞)有一个根x
2
容易证明当a>2时lna [a2 −a+1−2(a−1)]= (a2 −3a+3)>0
a a a a
1
所以 在( ,1)上有一个根 ，故 恰有两个极值点，符合题意.
f '(x)=0 a x f (x)
1
综上实数a的取值范围为(2,+∞) .........................................................................................10
分
方法二：可用参变分离法求解，(阅卷时酌情给分.)
②由上面的讨论可知
0f (1)>0
，同理可得
f (x )
