文档内容
高三年级考试
数学试题
2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的补集的定义即可求得.
【详解】因为 ，则 ，因为 ，则
， .
故选：A
2. 命题 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据命题的否定的定义即可求解.
的
【详解】命题 否定为 .
故选：B.
3. 已知 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可.
【详解】 ，故可得 ，又 ，则 .
故选：D.
4. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设 ，则 ，
所以 为奇函数，
设 ，可知 为偶函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为奇函数，则B，C错误，
易知 ，所以A正确，D错误．
故选：A.
5. 已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 220 B. 240 C. 260 D. 280
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的定义求得首项和公差，代入求和公式即可求得.
【详解】由数列 为等差数列，且 ， ，则
，解得 ， .
故选：D
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件即可求得 ，代入即可求得.
【详解】由 ，则
，化简得 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，由 .
故选：B
7. “函数 的图象关于 对称”是“ ， ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：当 ， 时， ，
令 ，解得 ，则函数的对称中心为 ，故必要；
当 的图象关于 对称时，令 ，解得 ，故不充
分，
故选：B
8. 已知 对任意 恒成立，则 的解集为（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析条件可知 的解集为 ，得到 和 的关系，不等式等价转
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学科网（北京）股份有限公司化后可得不等式的解集.
【详解】由 得， .
当 得， ， ，
当 得， ， ，
当 得， ， .
∵ 对任意 恒成立，
∴由 得， ，
∴ 和 是方程 的两根，且 ，
∴ ，故 .
由 得， ，即 ，
解得 ，故不等式的解集为 .
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查一元二次不等式综合问题，具体思路如下：
（1）分析 在不同定义域上的取值范围，可得到 的解集为 .
的
（2）根据不等式 解集结合韦达定理可得 ， .
（3） 可转化为 ，解不等式可得结果.
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学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，b， ，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的基本性质即可判定各个选项.
【详解】A选项：当 ， 时， ，但 ，故A错误；
B选项：∵ ，∴当 时， ，故B正确；
C选项：∵ ，∴ ， ，由∵ ，
∴ ，故C正确；
D选项： ，则 ，当 时， ，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图象关于原点对称
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学科网（北京）股份有限公司C. 是函数 的极大值点
D. 当 时，函数 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算 可得选项A错误；计算平移之后的函数表达式，得到奇函数，选项 B正确；分析
函数在 上为增函数，在 上为减函数，可得选项C正确；分析函数在 的单调性，计算
最值，可得选项D正确.
【详解】A.由 得，
，
∴ ，选项A错误.
B.由题意得， ，
函数 的图象向右平移 个单位长度得，
，
得 为奇函数，函数图象关于原点对称，选项B正确.
C.由 得， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数， 是函数 的极大值点，选项C正确.
D. 由 可知，
当 时， ， ， ，
结合选项C可得， 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数.
∵ ， ，
， ，
∴ ， ，
故函数 的值域为 ，选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知各项均为正数的数列 的前n项和 ， ， ，则下列选项正确的
是（ ）
A. B. 数列 是递减数列
C. D. ， ，
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学科网（北京）股份有限公司【答案】BCD
【解析】
【分析】先令 ,得到 ,判断选项A；然后当 时，得 ，消除前 项和，得到
相邻两项的关系，借此来判断选项BC；最后，利用前面得到的 的范围建立不等式，放缩求解，判断选
项D.
【详解】令 ,得 ，因为 ，
所以 ，故A错误；
当 时，得
所以
所以
得
由题可知，
故 与 同号
因为
所以 ，故C正确；
因为 ，所以
得 ，所以 是递减数列，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 , ，所以
所以
得
所以当 时， ，
所以 ，
所以 ，
故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：因为数列 是一个递减数列，所以每一项都小于2，然后累加得到 ,然后
根据题中等式得到 ,然后再因为 ,利用列项相消的方式求和即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不为 ，对数的真数大于 求解即可.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 且 ，
函数 的定义域为 .
故答案为： .
13. 已知数列 满足 ，设 的前n项和为 ，若 ，则 __________.
【答案】123
【解析】
【分析】由递推公式得到数列前6项的值，通过观察发现数列规律，从而求得前50项的和.
【详解】由题意可知： ， ， ， ，
， ，……
由此可得 是一个周期为4的周期数列
∴ .
故答案为：123.
14. 已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】对 ， 及 进行分类讨论，分别判断条件是否满足，即可得到答案.
【详解】设 ，则 ， .
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学科网（北京）股份有限公司2t2−t−2
故对 有ℎ ′′(t)=− >0，对 有 .
t2
这表明 在 上递增，在 上递减.
而 ，
ℎ
′(1+√17)
=ln
1+√17
+1−2⋅
√17−1
−2⋅
1+√17
+3=ln
1+√17
+4−√17>0，
4 4 4 4 4
.
所以结合 单调性知，存在 ，使得对 有 ，对
的
有 ，且 .
这表明 在(0,1)和 上递减，在 上递增.
从而对 有 ，对 有 ，对 有 .
故对任意 ，都有 ，而对任意 ，都有 .
下面对 进行分类讨论：
|a2−4a| |a2−4a| a2−4a
①若 ，则对x> +e有 ，x> ≥ ，从而
−2a −2a −2a
，且 .
故f (x)=(2−a)xlnx−2ax2−(a2−4a)x≥(2−a)xlnx≥2xlnx≥2>1，满足条件；
②若 ，则有
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学科网（北京）股份有限公司，满足条件；
③若 ，设 ，则
.
1
从而对
有g′(x)=− (2x+1)(ax−1)>0，对
有 .
x2
所以 在 上递增，在 上递减，这就得到
.
故对任意 ，都有
，不满足条
件.
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，以求得 的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，其中 ， .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ， 的最小正周期为 ，求 的单调递增区间；
（2）若函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，求 的解析式.
【答案】（1） .
（2）
【解析】
【分析】（1）由周期公式确定函数解析式，再由整体代换即可求解；
（2）由 两点可确定周期，再结合 可得 即可求解.
【小问1详解】
因为函数 ， ， 的最小正周期为 ，
所以 ，解得： ，又 ，
所以 ，
由 ，
解得： ，
所以 的单调递增区间为： .
【小问2详解】
由 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，即 ，得：
同时 ，结合 ，
可得： ，
所以
16. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）讨论方程 （ ）解的个数.
【答案】（1） 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据函数的导函数与函数的单调性的关系可得函数单调区间；
（2）由（1）得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值，由此讨论出 在对应取值范围内方
程 解的个数.
【小问1详解】
的定义域为 ，
，
由f′(x)<0，可得 ，由 ，可得 或x>0，
∴函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知函数 在 ，(0,+∞)上单调递增；函数 在 上单调递减，
∴ 在 时函数取极大值： ； 在 时函数取极小值： ，
又∵ ， ，∴ ，
可得函数的大致图象，
∴当 时， 有0个解；
当 或 时， 有1个解；
当 时， 有3个解；
当 时， 有2个解.
17. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A 为锐角， 的面积为 S，且
.
（1）求A；
（2）若 ，求S的最大值.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）通过二倍角公式与余弦定理化简原式，即可求得；
的
（2）借助余弦定理和基本不等式可以求得面积 最大值.
【小问1详解】
由 得，
，
化简得， ，又根据余弦定理
，则代入上式可得 即 ，
因为A为锐角，所以 .
【小问2详解】
，由 ，
，则 ， ，
所以S的最大值为 .
18. 已知函数 .
（1）若 ， 是定义在 上的函数， ， .证明：
当 时， 为周期函数.
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学科网（北京）股份有限公司（2）若曲线 在 处的切线方程为 ，设 （
）， 为 的导函数，且 有两个极值点 ， （ ）.证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据偶函数的判定得 为偶函数，再计算得 ，则证明其为周期函数；
（2）直接求导，根据 得到 值，则得到 的解析式，两次求导得到再结合韦达
定理得到 ，作差化简得 ，将
原不等式转化为证明 ，再设新函数求导即可.
【小问1详解】
时， ，
，则
，
为偶函数.
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学科网（北京）股份有限公司① ， ，
② ， ；
③ ， .
， 为偶函数.
， ，
， ，
即 为周期函数.
【小问2详解】
由题意得 ，
由已知， ， ，
， ，
，
设
.
由已知， 为 在 上的两个不等实根，且 ，
， .
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学科网（北京）股份有限公司，
，
要证: ，
只需证 ，
即证 .
设 ，则 ，
在 上单调递减，又 .
.
，
原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是首先求出 值，从而得到 的表达式，再多次求导得到韦
达定理式，最后再对要证明的不等式进行等价转化，减少变量，最后重新设函数利用导数证明即可.
19. 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内
成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当 （ ）时命题成立；2.假设 （ ，且
）时命题成立，推导出在 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所
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学科网（北京）股份有限公司有自然数 n 都成立.已知有穷递增数列 ， ， ， 且 .定义：集合
， 若 对 ， ， 使 得
，则称 具有性质T.
（1）若数列 ，1，2，m（ ）具有性质T，求实数m的值；
（2）若 具有性质T，且 ， ，
（ⅰ）猜想当 时 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；
（ⅱ）求 （ ）.
【答案】（1）4； （2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）讨论 的不同取法，根据性质 的定义，结合数列的单调性，即可求得参数值；
（2）（ⅰ）猜想 ，再利用数学归纳法，结合性质 的定义，分类讨论，即可证明；
（ⅱ）利用（ⅰ）中所求通项公式，利用裂项求和法，即可求得结果.
【小问1详解】
由已知，数列 具有性质 ，
当 时，取 ，满足题意；
当 时，取 ，满足题意；
当 时， ，此时 中有且仅有一个数为 ，
若 ，则 ，不满足题意；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 或 或 ，
又因为 ，故 ；
综上所述， .
【小问2详解】
（ⅰ）猜想 .
当 时， 满足题意；
假设 时， 成立，则当 时，
若 ，则取 满足题意；
若 ，则 中有且仅有一个数为 ，
当 时，设 ，则 ，
故 ，当且仅当 时，取得等号；
当 时，设 ，则 ，
记 ，则 ；
因为对任意的 ，都有 在 中取到，
则 ，即 ；
故 ，故 成立；
综上， .
（ⅱ）因为 时，
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学科网（北京）股份有限公司故
.
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是，能够数量掌握数学归纳法的证明过程；二是，能够
根据性质 的定义，合理的分类讨论；三是，数量掌握裂项求和法求解数列的前 项和.
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学科网（北京）股份有限公司
