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密★启用前
东莞实验中学 2024-2025 学年第二学期第一次段考
高二数学
2025.3.24
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．(sin2x) ′=（ ）
A．2sinxcosx B．−2cos2x C．2cos2x D．2
2．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则
不同的组队方案共有（ ）
A．60种 B．50种 C．40种 D．30种
3．日常饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已
4000
知1吨水净化到纯净度为x%时，所需费用(单位：元)为c(x)= (801，不等式
f (ax)≥f
(lnx2)恒成立，则正实数a的最小值为
e
D．若方程g(x)=t有两个解x ,x ，则x +x <2
1 2 1 2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置
上．
12．若 ，则 ．
C1 +C2 =15 m=
m m
π
( )
13．曲线f (x)=sinx−2cosx−1在点 ,0 处的切线方程为 ．
2
14．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器
的容积最大时，扇形的圆心角α= ．
四、解答题： 本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17
分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡
相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
15.（本小题满分13分）
1
已知函数f(x)= x2−4x+3lnx.
2
（1）求f(x)的单调区间；
[1 )
（2）求f(x)在区间 ,e 上的最大值．
e16.（本小题满分15分）
如图，在三棱台ABC−A B C 中，A A ⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，
1 1 1 1
， ，M为 的中点．
A B =1 A A =❑√3 BB
1 1 1 1
（1）证明：BB ⊥平面AMC；
1
（2）求平面A MC和平面AMC夹角的余弦值．
1
17.（本小题满分15分）
已知数列 是等差数列，首项 ，公差为d且 ， ， 成等比数列.
{a ) a =1 a a a
n 1 1 2 5
（1）求 的通项公式；
{a )
n
（2）若 ，数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
d≠0 {b ) b =a ⋅2n−1 {b ) T
n n n n n
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为
C: + =1(a>b>0) F ,F M,N
a2 b2 1 2
，且四边形F M F N是面积为8的正方形.
1 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线MA,MB的斜率分别为
，且 ，证明：直线 过定点.
k ,k k +k =8 AB
1 2 1 2
19.（本小题满分17分）
已知 ， ， ， .
f(x)=−ex+ax g(x)=2x+bsinx a∈R b∈R（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若a=−1，曲线y=f(x)的任意一条切线，都存在曲线y=g(x)的某条切线与它垂
直，求实数b的取值范围.
