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东莞实验中学 2024-2025 学年第二学期第一次段考
高二数学
2025.3.24
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．(sin2x) ′=（ ）
A．2sinxcosx B．−2cos2x C．2cos2x D．2
2．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则
不同的组队方案共有（ ）
A．60种 B．50种 C．40种 D．30种
3．日常饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已
4000
知1吨水净化到纯净度为x%时，所需费用(单位：元)为c(x)= (80<x<100)，那么净
100−x
化到纯净度为95%时，所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元/吨.
A．120 B．160 C．−160 D．−100
4．已知函数f(x)=ex−2x+3，则f(x)在定义域上（ ）
A．有极小值5−2ln2 B．有极大值5−2ln2 C．有最大值 D．无最小值
5．若函数f (x)=kx+ln2x在区间(1,3)上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
[ 1 ) [ 1 )
A． − ,+∞ B． − ,+∞ C．[−1,+∞) D．(−∞,−1)
3 6
6．在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可
以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的
无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同
时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.A．18 B．15 C．12 D．9
1
7．下列图象中有一个是函数f (x)= x3+ax2+(a2−1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f '(x)的图
3
象，则f (−1)=（ ）
7 1 5 1 1
A． B．− 或 C． D．−
3 3 3 3 3
8．已知函数f (x)=lnx+x−ax2有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
(1 ) ( 1+e)
A．(0,1) B． ,1 C． −∞, D．
e e2
(
1+e)
0,
e2
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正
确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9．现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（
）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
10．已知函数
y=f (x)
，其导函数
y=f′(x)
的图象如图所示，则关于
y=f (x)
的论述错误的是
（ ）A．在(−∞,0)上为减函数 B．在x=0处取极小值
C．在(1,2)上为减函数 D．在x=2处取极大值
11．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
f (x)=ex−x g(x)=x−lnx
A．f(lnx)在(0,+∞)上是增函数
B． 在 上是增函数
g(ex ) (0,+∞)
2
C． ∀x>1，不等式
f (ax)≥f
(lnx2)恒成立，则正实数a的最小值为
e
D．若方程g(x)=t有两个解x ,x ，则x +x <2
1 2 1 2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置
上．
12．若 ，则 ．
C1 +C2 =15 m=
m m
π
( )
13．曲线f (x)=sinx−2cosx−1在点 ,0 处的切线方程为 ．
2
14．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器
的容积最大时，扇形的圆心角α= ．
四、解答题： 本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17
分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡
相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
15.（本小题满分13分）
1
已知函数f(x)= x2−4x+3lnx.
2
（1）求f(x)的单调区间；
[1 )
（2）求f(x)在区间 ,e 上的最大值．
e16.（本小题满分15分）
如图，在三棱台ABC−A B C 中，A A ⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，
1 1 1 1
， ，M为 的中点．
A B =1 A A =❑√3 BB
1 1 1 1
（1）证明：BB ⊥平面AMC；
1
（2）求平面A MC和平面AMC夹角的余弦值．
1
17.（本小题满分15分）
已知数列 是等差数列，首项 ，公差为d且 ， ， 成等比数列.
{a ) a =1 a a a
n 1 1 2 5
（1）求 的通项公式；
{a )
n
（2）若 ，数列 满足 ，求数列 的前n项和 .
d≠0 {b ) b =a ⋅2n−1 {b ) T
n n n n n
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为
C: + =1(a>b>0) F ,F M,N
a2 b2 1 2
，且四边形F M F N是面积为8的正方形.
1 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线MA,MB的斜率分别为
，且 ，证明：直线 过定点.
k ,k k +k =8 AB
1 2 1 2
19.（本小题满分17分）
已知 ， ， ， .
f(x)=−ex+ax g(x)=2x+bsinx a∈R b∈R（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若a=−1，曲线y=f(x)的任意一条切线，都存在曲线y=g(x)的某条切线与它垂
直，求实数b的取值范围.
