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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.一个容量为 的样本，其数据依次为： 。则该组数据的第 百
分位数为（ ）
A. B. C. D.
2.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.直线 被圆 截得的最短弦的弦长为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知四面体 内接于球 ，若 ，平面
平面 ，则球 的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线 与抛物线 相交于 两点，以 为直径的
圆与抛物线 的准线相切于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.点 是 所在平面内的点，且有 ，直线 分别交
学科网（北京）股份有限公司于点 ，记 的面积分别为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次
取1个球，记事件A：第一次取出的是红球；事件A：第一次取出的是白球；事件B：取
1 2
出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A. 事件 ， 为互斥事件 B. 事件B，C为独立事件
C. D.
10.下列命题为真命题的是（ ）
A. 已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则
双曲线C的离心率为
B. “ ”在 上恒成立的充要条件是“ ”
C. 已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，则
D. 设 ， ， ，则 的大小关系为
11.已知函数 在区间 上单调，对 ，满
足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 若函数 在区间 上单调，则
在 上恰存在 个极值点，则
B. 若函数
C. 函 数 在 上 有 四 个 零 点 ， 则
， ，则
D. 若
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数 （其中 为虚数单位），
13.为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音
乐､美术､书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程
至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为
14.已知函数 在 上单调递增，则 的
最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点，
， 。① 求证： 平面 ；② 求平面 与平面
夹角的余弦值.
学科网（北京）股份有限公司16.（15分）在三角形 中，内角 的对边分别为 ，且 。
① 求 ；②若 ，且 ，求 的取值范围.
17.（15分）已知椭圆 的离心率为 ，过点 的直线
交椭圆 于点 ，且当 轴时， 。① 求椭圆 的方程；② 椭圆 的
左焦点为 ，若 的外心在 轴上，求直线 的方程.
18.（17分）已知函数 。① 当 ，求 的最大值；② 若
存在极大值，求实数 的取值范围.
19.（17分）对于一个给定的数列 ，令 ，则数列 称为数列 的一
阶和数列，再令 ，则数列 称为数列 的二阶和数列，以此类推，可得
数 列 的 阶 和 数 列 。 ① 数 列 的 二 阶 和 数 列 是 等 比 数 列 ， 且
，求 ；② 若 ，求数列 的二阶和数列的前 项和；
③ 若数列 是首项为 的等差数列， 是数列 的一阶和数列，且 ，
，求正整数 的最大值，以及 取最大值时数列 的公差.
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