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参考答案：
1-8:DBACBBCD
9. ACD 10.AC 11.ACD
12. 13. 14.
解答题
15.【详解】（1）由 为直三棱柱，得 平面 ，又 ，
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
不妨设 ，
由题意可得： ，
于是 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
显然 ，即 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 . ....................................................5分
（2）由（1）可知，平面 的一个法向量为 ，显然 轴垂直于平面 ，
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司不妨取其法向量为 ，设二面角 所对应的平面角为 ，
则 ，
显然二面角 为锐二面角，则 ，
即二面角 的余弦值为 .....................................................13分
16.（1） ....................................................6分
（2） ....................................................15分
17．【详解】（1）由题意得： ，得 ，
又当 时， ，则 ，所以 ，即 ，
所以椭圆 的方程为 . ....................................................6分
（2）设过 三点的圆的圆心为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，又 ，
1 1 2 2
则 ，即 ，
又A(x ,y )在椭圆 上，故 ，代入上式化简得到： ，
1 1
①
答案第2页，共2页同理，根据 可以得到： ，②
由①②可得： 是方程 的两个根，则 ，设直线 ： ，
联立方程： ，整理得： ，故 ，解得
，所以 ，所以直线 的方程为：
.....................................................15分
18．【详解】（1）由题可知 的定义域为(0,+∞)，
当 时， ， .
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以当 时， 取极大值，也是最大值，故 的最大值为 ......................6
分
（2） .
令 ，则 .
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 在(0,+∞)上单调递减，
当 时， ； ，根据零点存在定理，得 在(0,2)内存在
唯一的零点 ，
在 上，g(x)>0， ， 单调递增；
在 上，g(x)<0， ， 单调递减， 存在极大值.
当 时，令 ，解得 ， （舍去），
在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增.
所以当 时， 取极小值，也是最小值，故 .
当 ，即 时，由于当 时， ，此时，在 上，
必定存在唯一的零点 .
在 上，g(x)>0， ， 单调递增；在 ，g(x)<0， ，
单调递减， 存在极大值，
当 时在(0,+∞)上 ， ， 单调递增不存在极大值.
综上所述，a的取值范围是 . ...................................................17分
19．【详解】（1）由题意，得 ， ， ，
答案第4页，共2页所以 ， ，
因为 是等比数列，所以公比为 ，由此得 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
..........................................4分
（2）设 的二阶和数列的前n项和为 ，
由题意，得 ， ，
所以 ........................10分
（3）因为 ，
所以 ，解得 .
设数列 的公差为d，则 ，
得 ，
又因为 ，
所以 ，得 ，
所以k的最大值是1999，此时公差为 ......................................17分
答案第5页，共2页
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