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2023-2024 学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷
满分：150分 时长：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
为
1. 已知全集 ，集合 ， ，则
A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4}
【答案】C
【解析】
【分析】先根据全集U求出集合A的补集 ，再求 与集合B的并集 ．
【详解】由题得， 故选C.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得不等式 的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 或 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图
象.
【详解】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点
对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4. 设 ,若直线 与直线 平行,则 的值为
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．经过验证即可得出．
【详解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．
经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去．
∴a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5. 已知 ，则
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】 则 ．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化
与化归思想解题．
6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆
柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 分别是上､下底面圆的圆心，且 ，底面圆的
半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.
【详解】已知底面圆的半径 ，由 ，则 ，
故该陀螺的体积 .
故选：D.
7. 设点 ､ ，若直线l过点 且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 或 B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：
依题意， ，
要想直线l过点 且与线段AB相交，
则 或 ，
故选：A
8. 已知函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的
图象，则φ的可能值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
【详解】 ，
函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数的图象解析式为：
，
所以有 ，
显然只有选项A符合，
故选：A
9. 已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别为 ， ．若双曲线右支上存在点 ，使
得 与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用渐近线方程和直线 解出Q点坐标，再由 得P点坐标，代入双曲线方程得到
a、b、c的齐次式可解.
【详解】如图，因为 与渐近线 垂直
所以 的斜率为 ，方程为
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学科网（北京）股份有限公司解 的Q的坐标为
为
设P点坐标
则 ，
因为 ，
所以 ，得点P坐标为 ，
代入 得：
所以 ，即
所以渐近线方程为
故选：B.
10. 对 ，当 时， ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先将不等式等价变形，再构造函数 ， ，再结合函数的单调性、最值
即可求解．
【详解】由 ，当 时，
则 等价于 ，即等价于 ，
即等价于 ，即等价于 ，
令 ， ，
即等价于对 ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，
即对 ， ，即 ，
由 ，则 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：将题目中的不等式条件等价转化为 ，再构造函数
是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11. 已知 (i为虚数单位)，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
12. 已知向量 ， ，若 ，则实数k的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】因为 ，所以 ，解得 ．
故答案为：4.
13. 已知 ， ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
14. 圆心在直线 上且与直线 相切于点 的圆的方程是________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.
【详解】依题意，过切点 的圆的半径所在直线方程为 ，即 ，
由 解得 ，因此所求圆的圆心为 ，半径 ，
所以所求圆的方程为 .
故答案为：
15. 以双曲线 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
【答案】
【解析】
【详解】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：
16. 已知 、 分别为 （ ）椭圆的左、右焦点，过 的直线与椭圆交于 、
两点，若 ， ，则 ____，椭圆的离心率为___.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由给定条件结合向量的线性运算计算得 即可，在 、 中借助勾股
定理建立a，c的关系即可作答.
【详解】依题意， ，于是得 ，即
，所以 ；
令 ，因 ，则 ，由椭圆定义知， ， ，而
在 中， ，即 ，解得 ，
显然 ， 中，椭圆半焦距为c，有 ，
所以椭圆的离心率为 .
故答案为： ； .
17. 如图，在 中， ，D,E分别边AB,AC上的点, 且
，则 ______________，若P是线段DE上的一个动点，则 的最小值为
_________________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】
由 利用数量积公式可求 的值为1，设 的长为 ，则 ， ，
利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得 ，再利用配方法可得结果
【详解】 ， ；
又因为 且 ， 为正三角形，
， ， ，
设 的长为 （ ），则 ，，
时取等号，
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学科网（北京）股份有限公司的最小值为 .
故答案为：1， .
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：
（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向
量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义
式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁
为简的妙用．
18. 已知函数 ，函数 有四个不同零点，从小到大依次为 ，
则实数 的取值范围为___________； 的取值范围为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据函数性质画出 的图象，将问题化为 与 有四个交点，数形结合法求a范围，再
由 是 的两个根、 是 的两个根，结合根与系数关系求
的范围.
【详解】由题设，当 时， ，且单调递减；
当 时， ，且单调递增；
当 ， ，且单调递减；
当 ， ，且单调递增；
综上， 的函数图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司所以 有四个不同零点，即 与 有四个交点，由图知： ，
则 在 上， 在 上，
令 ，则 ，即 是 的两个根，故
，
而 是 ，即 的两个根，故 ，
所以 .
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：将问题转化为 与 有四个交点，数形结合求参数范围，进而把
看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
的
19. 在 中，角 ， ， 所对 边分别是 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）设 ， ，求 的值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得 ，根据角B的范围可求得
答案；
（2）运用余弦定理求得b，再运用正弦定理求得 ，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，
以及正弦的和角公式可求得答案.
【小问1详解】
解：由正弦定理得 ，即 .
∴ ，
又 ，∴ ，则 ，
又 ，故 .
【小问2详解】
解：由 ， ，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又 ，则 ， ，
所以 ， ，
∴ .
20. 如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， ， ，点D，
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学科网（北京）股份有限公司E分别在棱 和棱 上，且 ， ，M为棱 的中点.
（1）求证： ；
（2）求直线AB与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为 ，即可证明向量垂直；
（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：根据题意，以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
则 ，
所以 ，即 ；
【小问2详解】
由（1）可得， ，设平面 的法向量为
则 ，解得 ，取 ，则
所以平面 的一个法向量为 ，
又因为 ，
设AB与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以直线AB与平面 所成角的正弦值为 .
21. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，
平面 平面 ，且 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的大小；
（3）已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】先证明直线PD⊥平面ABCD.以点D为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正
向建立空间直角坐标系.
（1）利用向量法证明 平面 ；
（2）利用向量法求平面 与平面 所成角；
（3）设 ，因为异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求出t的值，代点到面的距离公式
求点 到平面 的距离.
【小问1详解】
证明：（1）∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，所以直线 平面 .
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ， ，
由题可知 为平面 的一个法向量，所以 .
又因为 平面 ， 平面 .
【小问2详解】
解： ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成角的大小为 ，
则 ， ，
∴平面 与平面 所成角的大小为 .
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
设 则 ， ， ， ，
，
解得 ，∴线段 的长为 .
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，所以 .
22. 已知函数 ，(a，b∈R)
（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；
（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x，x(x2.
1 2 1 2 1 2
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 的导函数，求出函数在 时的导数得到切线的斜率，然后用一般
式写出切线的方程；
（2）对 ， ， 都成立，则对 ， ， ，恒成立，构造函数
，求出 的最大值可得 的范围；
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学科网（北京）股份有限公司（3）由 ，得 ，构造函数 ，将问题转化为证明
，然后构造函数证明 即可．
【详解】（1）当 时， 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
曲线 在 处的切线方程为 ；
（2）当 时，对 ， ， 都成立，
则对 ， ， 恒成立，
令 ，则 ．
令 ，则 ，
当 ， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
， ，
的取值范围为 ；
（3）当 ， 时，由 ，得 ，
方程 有两个不同的实数解 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单调递减，
，
，
又 ， （1） ，
，
，
只要证明 ，就能得到 ，即只要证明 ，
令 ，
则 ，
在 上单调递减，则 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
即 ，证毕．
【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思
想和分类讨论思想，属难题．
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学科网（北京）股份有限公司
