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2004 年江苏高考数学真题及答案
一、选择题(5分×12=60分)
1.设集合P={1，2，3，4}，Q={ }，则P∩Q等于 ( )
(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}
2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有 ( )
(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
4.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是
( )
(A) (B) (C) (D)
5. 若 双 曲 线 的 一 条 准 线 与 抛 物 线 的 准 线 重 合 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为
( )
(A) (B) (C) 4 (D)
6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的
数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为
( )
(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时
人数(人)
20
15
10
5
0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)
7. 的展开式中x3的系数是 ( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48
8.若函数 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )
(A)a=2,b=2 (B)a=,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=
9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，
至少出现一次6点向上的概率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
第1页 | 共6页11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反
函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则
k等于 ( )
(A)3 (B) (C) (D)
12.设函数 ，区间M=[a，b](a0的解集是_______________________.
14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.
15.设数列{a}的前 n 项和为 S ，S= (对于所有 n≥1)，且 a=54，则 a 的数值是
n n n 4 1
_______________________.
16.平面向量a，b中，已知a=(4，-3)， =1，且ab=5，则向量b=__________.
三、解答题(12分×5+14分=74分)
17.已知0<α< ，tan +cot = ，求sin( )的值.
18.在棱长为4的正方体ABCD-ABCD 中，O是正方形ABCD 的中心，点P在棱CC 上，且CC=4CP.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(Ⅰ)求直线AP与平面BCCB 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
1 1
(Ⅱ)设O点在平面DAP上的射影是H，求证：DH⊥AP；
1 1
D
(Ⅲ)求点P到平面ABD 的距离. 1 C
1 1
· O
A 1 B 1
·
H
P
D
C
A B
19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可
能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过
1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
第2页 | 共6页20.设无穷等差数列{a}的前n项和为S.
n n
(Ⅰ)若首项 ，公差 ，求满足 的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a}，使得对于一切正整数k都有 成立.
n
21.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是 F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方
程； (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线 与y轴交于点M. 若 ，求直线 的斜率.
22.已知函数 满足下列条件：对任意的实数x，x 都有
1 2
和 ， 其中 是大于0的常数.
设实数a，a，b满足 和
0
(Ⅰ)证明 ，并且不存在 ，使得 ；
(Ⅱ)证明 ；
(Ⅲ)证明 .
2004年高考数学江苏卷答案
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D C A B C A D C B A
二、 填空题
13、 ； 14、 ；
15、2； 16、
第3页 | 共6页三、 解答题
（17）由已知得： 得 ， ， ，从
而
（18）
（ 1 ） 连 结 BP ， 平 面 ， 与 平 面 所 成 角 就 是 ，
，在 中， 为直角， ，故 ，在
中， 为直角， ， ，即直线AP与平面
所成角为 。
（ 2）连结 ，四边形 是正方形， ，又 平面
， ， ， 平面 ，由于 平面
，又平面 的斜线 在这个平面内的射影是 ， .
(3)连结 ，在平面 中，过点P作 于点Q，AB⊥平面 ,PQ 平面 ,
PQ⊥ AB ， PQ⊥ 平 面 ， PQ 就 是 点 P 到 平 面 ABD 的 距 离 ， 在 中 ，
1
， ，即点P到平面ABD 的距离为 。
1
（19）设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意： ，目标函数
，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线
，并作平行于直线 的一组直线，与可行域相交，其中
有一条直线经过可行域上的点M，且与直线 的距离最大，
这里M点是直线 和直线 的交点，解方程
组 得 ，此时
（万元）， ，当 时， 最得最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损
不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。
（20）（1）当 时， ，由
得， ，即 ，又 ，
第4页 | 共6页所以 。
（ 2 ） 设 数 列 的 公 差 为 ， 则 在 中 分 别 取 得 即
，由（1）得 或 。
当 时，代入（2）得： 或 ；
当 时， ，从而 成立；
当 时，则 ，由 ， 知， ，故所得数列不符
合题意；
当 时， 或 ，当 ， 时， ，从而 成立；当 ，
时，则 ，从而 成立，综上共有 3个满足条件的无穷等差数列； 或
或 。
（21）（1）设所求椭圆方程是 由已知得 ，所以 ，故所
求椭圆方程是
（2）设 ，直线 ，则点 ，当 时，由于 ，
，由定比分点坐标公式得 ，又点 在椭圆
上，所以 ， ；当 时
，所以 得，解得 ，故直线 的斜率是
。
（22）证明：（1）任取 ，则由 ①
和 ②
可知， ，从而 ；
第5页 | 共6页假设有 ，使得 ，则由①式知， ，矛盾，因此不
存在 ，使得 。
（2）由 ③可知
④
由 和①得， ⑤
由 和②得， ⑥
将⑤⑥代入④得 ；
（3）由③式可知，
（用②式）
（用①式）
。
第6页 | 共6页
