2004年江苏高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江苏

2004 年江苏高考数学真题及答案 一、选择题(5分×12=60分) 1.设集合P={1，2，3，4}，Q={x x 2,xR}，则P∩Q等于 ( ) (A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2} 2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( ) π (A) (B)π (C)2π (D)4π 2 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法 共有 ( ) (A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种 4.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是 ( ) 100π 208π 500π 416 3π (A) cm3 (B) cm3 (C) cm3 (D) cm3 3 3 3 3 x2 y2 5. 若 双 曲 线  1的 一 条 准 线 与 抛 物 线 y2 8x的 准 线 重 合 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 8 b2 ( ) (A) 2 (B)2 2 (C) 4 (D)4 2 6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的 数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时 人数(人) 20 15 10 5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时) 7.(2x x)4的展开式中x3的系数是 ( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)48 8.若函数ylog (xb)(a0,a1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) a (A)a=2,b=2 (B)a= 2,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2,b= 2 9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次， 至少出现一次6点向上的概率是 ( ) 5 25 31 91 (A) (B) (C) (D) 216 216 216 216 10.函数 f(x)x3 3x1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) 第1页 | 共6页(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19 11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反 函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则 k等于 ( ) 3 4 6 (A)3 (B) (C) (D) 2 3 5 x 12.设函数 f(x) (xR)，区间M=[a，b](a0的解集是_______________________. 14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. a (3n 1) 15.设数列{a}的前 n 项和为 S ，S= 1 (对于所有 n≥1)，且 a=54，则 a 的数值是 n n n 4 1 2 _______________________. 16.平面向量a，b中，已知a=(4，-3)， b =1，且ab=5，则向量b=__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) π α α 5 π 17.已知0<α< ，tan +cot = ，求sin(α )的值. 2 2 2 2 3 18.在棱长为4的正方体ABCD-ABCD 中，O是正方形ABCD 的中心，点P在棱CC 上，且CC=4CP. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅰ)求直线AP与平面BCCB 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； 1 1 (Ⅱ)设O点在平面DAP上的射影是H，求证：DH⊥AP； 1 1 (Ⅲ)求点P到平面ABD 的距离. D 1 1 C 1 ·O A 1 B 1 · H P D C A B 19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能 的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 第2页 | 共6页20.设无穷等差数列{a}的前n项和为S. n n 3 (Ⅰ)若首项a  ，公差d 1，求满足S (S )2的正整数k； 1 2 k2 k (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a}，使得对于一切正整数k都有S (S )2成立. n k2 k 1 21.已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方 2 程； (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若 MQ 2QF ，求直线l的斜率. 22.已知函数 f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数x，x 都有 1 2 λ(x x )2 (x x )[f(x ) f(x )] 1 2 1 2 1 2 和 f(x ) f(x )  x x ， 其中λ是大于0的常数. 1 2 1 2 设实数a，a，b满足 f(a )0和baλf(a) 0 0 (Ⅰ)证明λ1，并且不存在b a ，使得 f(b )0； 0 0 0 (Ⅱ)证明(ba )2 (1λ2)(aa )2； 0 0 (Ⅲ)证明[f(b)]2 (1λ2)[f(a)]2. 2004年高考数学江苏卷答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C A B C A D C B A 第3页 | 共6页二、填空题 13、(,2)(3,)； 14、(x1)2 (y2)2  25； 4 3 15、2； 16、( , ) 5 5 三、解答题   2 5 4  3 （17）由已知得：tan cot   得sin ， 0 ，cos 1sin2 ，  2 2 sin 2 5 2 5    43 3 从而sin( ) sincos cossin  3 3 3 10 （18） （ 1 ） 连 结 BP ， AB 平 面 BCC B ， AP与 平 面 BCC B 所 成 角 就 是 APB，  1 1 1 1 CC  4CP,CC  4,CP 1，在RtPBC 中，PCB为直角，BC  4,CP 1，故BP  17 ，  1 1 AP 4 17 4 17 在RtAPB中，ABP为直角，tanAPB   ，APB arctan ，即直线AP与平 BP 17 17 4 17 面BCC B 所成角为arctan 。 1 1 17 （2）连结 AC ,B D ，四边形 A BC D 是正方形，DO  AC ，又 AA 平面 A BC D ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AA  DO， AA  AC  A ，DO 平面A APC ，由于AP 平面A APC ，DO  AP， 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又平面D AP的斜线DO在这个平面内的射影是D H ，D H  AP. 1 1 1 1 (3)连结BC ，在平面BCC B 中，过点P作PQ  BC 于点Q，AB⊥平面BCC B ,PQ平面BCC B , 1 1 1 1 1 1 1 1 PQ ⊥ AB ， PQ ⊥ 平 面 ABC D ， PQ 就 是 点 P 到 平 面 ABD 的 距 离 ， 在 RtC PQ中 ， 1 1 1 1 3 3 C QP 90,PC Q  45，PC 3,PQ  2，即点P到平面ABD 的距离为 2。 1 1 1 2 1 2  x y 10  0.3x0.1y 1.8 （19）设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意： ，目标函数 x 0    y 0 z  x0.5y，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线 l :x0.5y 0，并作平行于直线l 的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M， 0 0 且与直线x0.5y 0的距离最大，这里M点是直线x y 10和直线0.3x0.1y 1.8的交点，解方程组 第4页 | 共6页 x y 10  得x  4,y 6，此时z 140.567（万元），  7 0，当x  4,y 6时，z 0.3x0.1y 1.8 最得最大值。 答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的 盈利最大。 3 3 n(n1) 1 （20 ）（1 ）当a  ,d 1时，S  n  n2 n， 1 2 n 2 2 2 1 1 1 由S (S )2得， k4 k2 ( k2 k)2 ，即 k3( k 1) 0，又 k2 k 2 2 4 k  0，所以k  4。 （2 ）设数列  a  的公差为d ，则在S (S )2中分别取k 1,2得 n k2 k  a a 2 S (S )2  1 1  1 1 即 43 21 ，由（1）得a 0或 S (S )2 4a  d (2a  d)2 1  4 2   1 2 1 2 a 1。 1 当a 0时，代入（2）得：d 0或d 6； 1 当a 0,d 0时，a 0,S 0，从而S (S )2成立； 1 n n k2 k 当a 0,d 6时，则a 6(n1)，由S 18，(S )2 324,S  216知，S (S )2，故所得数列不 1 n 3 3 9 9 3 符合题意； 当a 1时，d 0或d  2，当a 1，d 0时，a 1,S  n，从而S (S )2成立；当a 1， 1 1 n n k2 k 1 d  2时，则a  2n1,S  n2，从而S (S )2成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列； a 0 n n k2 k n 或a 1或a  2n1。 n n x2 y2 c 1 （21）（1）设所求椭圆方程是  1(a b 0)由已知得c  m,  ，所以a  2m,b  3m，故 a2 b2 a 2 x2 y2 所求椭圆方程是  1 4m2 3m2 （2）设 Q(x ,y )，直线 l: y  k(xm)，则点 M(0,km)，当 MQ  2QF 时，由于 F(m,0)， 0 0 02m 2m km0 km 2m km M(0,km)，由定比分点坐标公式得x    ,y   ，又点Q( , )在椭圆 Q 12 3 Q 12 3 3 3 第5页 | 共6页2m km ( )2 ( )2 3 3 上，所以  1，k  2 6 ；当MQ  2QF时 4m2 3m2 02m km0 (2m)2 (km)2 x   2m,y   km，所以  1得，解得k  0，故直线l的斜率是 Q 12 Q 12 4m2 3m2 0,2 6。 （22）证明：（1）任取x ,x R,x  x ，则由λ(x x )2 (x x )[f(x ) f(x )] ① 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 和 f(x ) f(x )  x x ② 1 2 1 2 可知，λ(x x )2 (x x )[f(x ) f(x )] | x x || f(x ) f(x )|| x x |2，从而1； 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 假设有b a ，使得 f(b )0，则由①式知，(a b )2 (a b )[f(a ) f(b )]0，矛盾，因此 0 0 0 0 0 0 0 0 0 不存在b a ，使得 f(b )0。 0 0 0 （2）由baλf(a) ③可知 (ba )2 [aa f(a)]2 (aa )2 2[f(a)]2 2(aa )f(a) ④ 0 0 0 0 由 f(a )0和①得，(aa )f(a) (aa )[f(a) f(a )](aa )2 ⑤ 0 0 0 0 0 由 f(a )0和②得，[f(a)]2 [f(a) f(a )]2 (aa )2 ⑥ 0 0 0 将⑤⑥代入④得(ba )2 (aa )2 2(aa )2 22(aa )2 (12)(aa )2； 0 0 0 0 0 （3）由③式可知， [f(b)]2 [f(b) f(a) f(a)]2 [f(b) f(a)]2 [f(a)]2 2[f(b) f(a)][f(a)] b  a (b  a)2 [f(a)]2  2 [f(b)  f(a)] （用②式）  2 2[f(a)]2 [f(a)]2  (ba)[f(b) f(a)]  2 2[f(a)]2 [f(a)]2  (ba)2 （用①式）  2[f(a)]2 [f(a)]2 22[f(a)]2 (12)[f(a)]2。 第6页 | 共6页